Hans Walser, [20261004]

Vergleich von Potenzen

1 Worum es geht

Es ist:

2³ = 8 und 3² = 9 also 2³ < 3²

Hingegen:

3⁴ = 81 und 4³ = 64 also 3⁴ > 4³

Wir vergleichen x^{x + 1} mit (x + 1)^x.

2 Bearbeitung

Wir setzen:

f: x → x^{x + 1} (roter Graf in Abb. 1)

g: x → (x + 1)^x (grüner Graf in Abb. 1)

Abb. 1: Funktionsvergleich

Der Schnittpunkt ist ≈ [2.293166287, 15.38063254]. (Der Autor hat etwas mit der eulerschen Zahl e erwartet, scheint aber nicht so zu sein).

3 Varianten

3.1 Variante e

Es sei e die eulersche Zahl e ≈ 2.71828183.

Wir setzen:

f: x → x^{x + e} (roter Graf in Abb. 2)

g: x → (x + e)^x (grüner Graf in Abb. 2)

Abb. 2: Funktionsvergleich

Der Schnittpunkt ist ≈ [1.850053759, 16.61834485].

3.2 Variante π

Wir setzen:

f: x → x^{x + π} (roter Graf in Abb. 3)

g: x → (x + π)^x (grüner Graf in Abb. 3)

Abb. 3: Funktionsvergleich

Der Schnittpunkt ist ≈ [1.779141192, 17.03016506].

4 Allgemein

Wir setzen:

f: x → x^{x + d}

g: x → (x + d)^x

Die Tabelle 1 gibt die Schnittpunkte der beiden Funktionsgrafen für d → 0.

d	Schnittpunkt
1	[2.293166287, 15.38063254]
1/10	[2.669048060, 15.15658451]
1/100	[2.713289493, 15.15428548]
1/1000	[2.717781905, 15.15426247]
1/10000	[2.718231829, 15.15426224]
1/100000	[2.718276828, 15.15426223]
1/1000000	[2.718281328, 15.15426223]
1/10000000	[2.718281778, 15.15426223]
1/100000000	[2.718281823, 15.15426223]
1/1000000000	[2.718281828, 15.15426224]

Tab. 1: Schnittpunkte

Vermutung: Für d → 0 strebt der Schnittpunkt nach [e, e^e] ≈ [2.718281828, 15.15426224]. Also doch mit der eulerschen Zahl e.

Die Abbildung 4 zeigt die Situation der Abbildung 1 (d = 1) sowie einige weitere Schnittpunkte.

Abb. 4: Schnittpunkte