Hans Walser, [20210720]

Vielecke einpacken

0    Worum geht es?

Regelmäßige Vielecke sollen von regelmäßigen Vielecken eingepackt werden.

1    Beispiele

Ein gleichseitiges Dreieck kann von drei regelmäßigen Zwölfecken eingepackt werden, ein Quadrat von vier regelmäßigen Achtecken (Abb. 1).

 

    

Abb. 1: Eingepacktes Dreieck und eingepacktes Viereck

Gibt es weitere Beispiele?

Experimentell finden wir noch zwei weitere Beispiele (Abb. 2).

Ein Bild, das grün, drinnen, Kuppel enthält.

Automatisch generierte Beschreibung     Ein Bild, das Fußball enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 2: Sechseck und Zehneck

Weitere Beispiele scheint es nicht zu geben.

2    Bearbeitung

Wir wollen ein regelmäßiges n-Eck einpacken. Es hat den Außenwinkel a :

 

                                                                                                                       (1)

 

Somit erhalten wir für den Innenwinkel b eines Verpackungsvieleckes:

 

                                                                                     (2)

 

 

Der Außenwinkel g  des Verpackungsvieleckes und damit sein Zentriwinkel ist:

 

                                                                                                   (3)

 

Daraus ergibt sich für die Eckenzahl en des Verpackungsvieleckes:

 

                                                                                                         (4)

 

Die Tabelle 1 gibt die ersten Werte für en.

 

n

en

en

 

n

en

en

3

12

 12

 

22

22/5

 4.4

4

8

 8

 

23

92/21

 4.380952381

5

20/3

 6.666666667

 

24

48/11

 4.363636364

6

6

 6

 

25

100/23

 4.347826087

7

28/5

 5.6

 

26

13/3

 4.333333333

8

16/3

 5.333333333

 

27

108/25

 4.32

9

36/7

 5.142857143

 

28

56/13

 4.307692308

10

5

 5

 

29

116/27

 4.296296296

11

44/9

 4.888888889

 

30

30/7

 4.285714286

12

24/5

 4.8

 

31

124/29

 4.275862069

13

52/11

 4.727272727

 

32

64/15

 4.266666667

14

14/3

 4.666666667

 

33

132/31

 4.258064516

15

60/13

 4.615384615

 

34

17/4

 4.25

16

32/7

 4.571428571

 

35

140/33

 4.242424242

17

68/15

 4.533333333

 

36

72/17

 4.235294118

18

9/2

 4.5

 

37

148/35

 4.228571429

19

76/17

 4.470588235

 

38

38/9

 4.222222222

20

40/9

 4.444444444

 

39

156/37

 4.216216216

21

84/19

 4.421052632

 

40

80/19

 4.210526316

Tab. 1: Eckenzahlen der Verpackungsvielecke

Für n = 3, 4, 6 und 10 ergeben sich die schon bekannten Eckenzahlen der Abbildungen 1 und 2.

Die Folge en ist monoton abnehmend mit dem Grenzwert 4. Daher gibt es keine weiteren ganzzahligen Lösungen für das Verpackungsvieleck mehr. Zwischen e10 = 5 und dem Grenzwert 4 gibt es keine weiteren ganzen Zahlen. Basta

3    Sterne

In der zweiten Spalte der Tabelle 1 ist en als gekürzter Bruch angegeben. Zum Beispiel ist e5 = 20/3. Wir können diesen Bruch als Stern interpretieren. Auf einem Kreis werden 20 Punkte regelmäßig verteilt. Wir starten in einem Punkt und gehen weiter zum dritten Punkt. Und so weiter jeweils zum drittnächsten Punkt. So entsteht ein Stern (Abb. 3).

Abb. 3: Der 20/3-Stern

Wenn wir solche Sterne als Verpackungsvielecke zulassen, ergibt sich auch für n = 5 eine Lösung (Abb. 4).

Abb. 4: Verpacktes Fünfeck

Analog können wir nun jedes regelmäßige Vieleck verpacken. Die Abbildung 5 zeigt das Beispiel des 18-Ecks mit 9/2-Sternen als Verpackungsmaterial.

Abb. 5: 18-Eck und 9/2-Sterne