Hans Walser, [20091117a]

RegelmŠ§ige Vielecke mit Kreisen

1        Worum es geht

Einem regelmŠ§igen Vieleck beliebiger Eckenzahl n wird ein regelmŠ§iges Vieleck gleicher Eckenzahl eingeschrieben. Die Figur zeigt die Situation fŸr FŸnfecke.

Situation

Unter den Ecken entstehen n kongruente Dreiecke.

Wir interessieren uns nun um die Inkreise und die Umkreise dieser Dreiecke.

2        Inkreise

Wir zeichnen die Inkreise der kleinen Dreiecke.

Inkreise

Die Zentren dieser Inkreise liegen auf dem Umkreis des einbeschriebenen n-Eckes.

Zentren auf dem Umkreis

Dies gilt unabhŠngig von der Eckenzahl n.

3        Umkreise

Und nun die Umkreise der kleinen Dreiecke.

Umkreise

Die Umkreise verlaufen durch den Mittelpunkt der Figur. Auch diese Eigenschaft ist unabhŠngig von n.

4        Beweise

Wir bezeichnen mit  (zyklische Nummerierung modulo n) die Ecken des Šu§eren regelmŠ§igen n-Eckes. Ferner seien  mit  die Ecken des einbeschriebenen regelmŠ§igen n-Eckes,  die Inkreismittelpunkte der Dreiecke  und M der Mittelpunkt der Gesamtfigur. Die Figur zeigt einen beweisrelevanten Ausschnitt.

Beweisfigur

Das Dreieck  hat bei  denselben Au§enwinkel wie das regelmŠ§ige n-Eck, also . Daher ist die Summe der beiden Dreieckswinkel bei  und  ebenfalls so gro§:

Da der Inkreismittelpunkt  auf der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der beiden Winkel  und  ist, erhalten wir fŸr den Au§enwinkel des Dreieckes  bei :

Der Punkt  liegt also auf dem Ortsbogen (Fasskreis) Ÿber der Strecke  fŸr den Au§enwinkel ; dies ist aber wegen  der Umkreis des regelmŠ§igen n-Eckes . Damit ist die Aussage Ÿber die Inkreismittelpunkte der Dreiecke  bewiesen.

Im Viereck  sind der Innenwinkel bei M und der Au§enwinkel bei  gleich gro§, nŠmlich . Das Viereck ist daher ein Sehnenviereck; der Kreis durch die drei Punkte  verlŠuft auch durch M. Damit ist die Aussage Ÿber die Umkreise der Dreiecke  bewiesen.

5        Bildergalerie

Beispiele fŸr die Eckenzahlen 3, 4, 6, 7.

5.1      RegelmŠ§iges Dreieck

Beim regelmŠ§igen Dreieck liegen zusŠtzlich auch die Mittelpunkte der Umkreise der Dreiecke  auf dem Umkreis des einbeschriebenen regelmŠ§igen Dreiecks . Warum ist das so?

RegelmŠ§iges Dreieck

5.2      Quadrat

Beim Quadrat sind die Mittelpunkte der Umkreise der Dreiecke  die Mittelpunkte der Seiten des einbeschriebenen Quadrates (Thaleskreise).

Quadrat

5.3      RegelmŠ§iges Sechseck

Die Mittelpunkte der Umkreise der Dreiecke  sind die Schnittpunkte der beiden benachbarten Umkreise.

RegelmŠ§iges Sechseck

5.4      RegelmŠ§iges Siebeneck

†ber die Mittelpunkte der Umkreise der Dreiecke  kann nichts ãSchšnesÒ gesagt werden.

RegelmŠ§iges Siebeneck

Wir zeichnen nun aber im einbeschriebenen Siebeneck sŠmtliche Diagonalen ein und sehen, dass jede Diagonale durch genau vier Schnittpunkte von Umkreisen der Dreiecke  verlŠuft. Warum ist das so? Gibt es Entsprechendes bei anderen Eckenzahlen?

Diagonalen