Hans Walser, [20130219]

Vier rechtwinklige Dreiecke

1     Die Auslegeordnung

Wir beginnen mit vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken, von denen zwei spiegelbildlich zu den beiden anderen sind (Abb.1).

Abb. 1: Vier rechtwinklige Dreiecke

Diese ordnen wir nun an gemŠ§ Abbildung 2.

Abb. 2: Umlegen der Dreiecke

Es entstehen zwei Rechtecke, in Umrissrechteck und ein ãLochrechteckÒ.

Wir vermuten, dass die beiden Rechtecke Šhnlich sind.

Wir kšnnen die vier Dreiecke der Abbildung 1 noch auf eine zweite Art zu Rechtecken zusammenfŸgen (Abb. 3).

Abb. 3: Zweite Art

Wir vermuten wiederum, dass Umrissrechteck und Lochrechteck Šhnlich sind.

2     Beweis

Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 4.

Abb. 4: Bezeichnungen

FŸr das Umrissrechteck haben wir das SeitenverhŠltnis (c + b) : a, fŸr das Lochrechteck das SeitenverhŠltnis a : (cb). Die €hnlichkeitsbedingung ist:

 

 

Dies fŸhrt zu , also der Formel von Pythagoras, die in einem rechtwinkligen Dreieck erfŸllt ist.

3     SonderfŠlle

Wir diskutieren die Situation mit speziellen rechtwinkligen Dreiecken. Dazu normieren wir a =1, so dass wir nur noch den Parameter b im Spiel haben.

3.1    Goldenes Rechteck

FŸr  ergibt sich die Situation der Abbildung 5. Wir erhalten das so genannte Goldene Rechteck, dessen SeitenlŠngen im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes stehen.

Abb. 5: Goldenes Rechteck

Das Goldene Rechteck hat die Eigenschaft, dass nach Abschneiden eines Quadrates kleineres Goldenes Rechteck als Restrechteck Ÿbrig bleibt. Dies kann in unserem Beispiel durch eine andere Anordnung der Teilfiguren gezeigt werden (Abb. 6).

Abb. 6: Abschneiden eines Quadrates

3.2    Silbernes Rechteck

FŸr b = 1 erhalten wir das Rechteck der Abbildung 7, das Rechteck mit dem leicht esoterischen Namen Silbernes Rechteck. Es hat die Eigenschaft, dass nach Abschneiden von zwei Quadraten ein zum Ausgangsrechteck Šhnliches Rechteck Ÿbrig bleibt.

Abb. 7: Silbernes Rechteck


3.3    Allgemeiner Sonderfall

FŸr  ergibt sich ein Rechteck mit der Eigenschaft, dass nach Abschneiden von n Quadraten ein zum Ausgangsrechteck Šhnliches Rechteck Ÿbrig bleibt. Die Abbildung 8 illustriert den Fall fŸr n = 5.

Abb.  8: n = 5

FŸr die LŠnge x des Rechteckes (bei einer Breite von 1) erhalten wir:

 

 

Dies fŸhrt zur positiven Lšsung:

 

 


4     Umkehrung

Umgekehrt kann jedes Rechteck so zerlegt werden, dass vier kongruente rechtwinklige Dreiecke und ein zum Ausgangsrechteck Šhnliches Rechteck entstehen. Dazu passen wir in das Rechteck zunŠchst einen Rhombus ein, dessen lange Diagonale mit einer der beiden Rechtecks-Diagonalen Ÿbereinstimmt. Die Abbildung 9 illustriert das weitere Vorgehen.

Abb. 9: Zerlegung eines Rechteckes