Hans Walser, [20171107]
Viereck mit d
= e = f
Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen
Von einem Viereck in der Ÿblichen Beschriftung seien die Seiten a, b, c bekannt. Weiter sei d = e = f (e und f seien die beiden Diagonalen). Gesucht ist das Viereck.
Gibt fŸr den allgemeinen Fall eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
Das klassische Beispiel ist a = b = c = 1 mit den beiden Lšsungen (Goldener Schnitt, Abb. 1):
und (1)
Abb. 1: Klassisches Beispiel
Die zweite Lšsung ist ãŸberschlagendÒ. Die beiden Lšsungen sind durch Einbettung in ein regulŠres FŸnfeck einsehbar (Abb. 2).
Abb. 2: Zusammenhang mit regulŠrem FŸnfeck
Im allgemeinen Fall seien die drei gegebenen Seiten a, b, c paarweise verschieden (Abb. 3).
Abb. 3: Allgemeines Beispiel
Es gibt mehrere Lšsungswege.
Auf Grund des Kosinussatzes ist im Dreieck ABC:
(2)
Analog im Dreieck BCD:
(3)
FŸr die Seite d = AD ergibt sich nach einiger Rechnung mit Pythagoras:
(4)
Bei gegebenen a, b, c bildet {(2), (3), (4)} ein Gleichungssystem fŸr d, , .
Wir denken uns die drei Strecken a, b, c in den Punkten B und C gelenkig verbunden. Weiter seien auf den Strecken a und c die Mittelsenkrechten montiert (Abb. 4).
Abb. 4: Gelenkmodell. Ausgangslage
Nun drehen wir die Strecke c um den Punkt C, bis die Mittelsenkrechte von c durch den Punkt A verlŠuft (Abb. 5).
Abb. 5: Erster Schritt
Dieser erste Schritt kann auch mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.
Jetzt drehen wir die Strecke a mit ihrer Mittelsenkrechten um den Punkt B und nehmen die Mittelsenkrechte von c samt c mit. Die Strecke c wird jetzt also zurŸckgedreht. Die Abbildung 6 zeigt den Beginn des ZurŸckdrehens, die Abbildung 7 eine weitere Situation.
Abb. 6: Beginn des ZurŸckdrehens
Abb. 7: Weiteres ZurŸckdrehen
Dieses ZurŸckdrehen machen wir nun so lange, bis die Mittelsenkrechte von a im Punkt D anstš§t (Abb. 8).
Abb. 8: Ansto§en
Damit haben wir unser Viereck gefunden (Abb. 9).
Abb. 9: Lšsung
Ich habe keine Lšsung mit Zirkel und Lineal gefunden.
Im Sonderfall a = c ist das Viereck aus SymmetriegrŸnden ein gleichschenkliges Trapez und damit ein Sehnenviereck. Aus dem Satz des PtolemŠus ergibt sich:
(5)
Bei gegebenen a und b ist dies eine quadratische Gleichung fŸr d. Das Problem kann daher mit Zirkel und Lineal gelšst werden.
Der klassische Fall mit dem Goldenen Schnitt als Lšsung gehšrt zu diesem Sonderfall.