Hans Walser, [20210731

Volumengleichheit beim rechtwinkligen Dreieck

1 Quader

Ich ging im Walde

So für mich hin,

Und nichts zu suchen,

Das war mein Sinn.

Johann Wolfgang von Goethe

(1813)

Ich fand im Wald einen Quader mit quadratischer Grundfläche (Abb. 1).

Abb. 1: Quader im Walde

2 Rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck (Abb. 2) arbeiten wir mit den angegebenen Bezeichnungen.

Abb. 2: Rechtwinkliges Dreieck

2.1 Behauptung

Es ist:

(1)

2.2 Beweis

Aus der Ähnlichkeit des Dreiecks mit seinen Teildreiecken ergibt sich:

(2)

Somit ist:

(3)

2.3 Alternativer Beweis

Wir setzen den Thaleskreisradius 1 (Abb. 3).

Abb. 3: Thaleskreis

Es ist:

(4)

Gemäß (1) haben wir zu prüfen:

(5)

Die letzte Zeile von (5) ist erfüllt.

3 Geometrische Interpretation

Wir können jede Seite von (1) als Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche interpretieren (Abb. 4 und 5). Wir haben dann zwei volumengleiche Quader.

Abb. 4: Volumengleiche Quader

Abb. 5: Volumengleiche Quader