Hans Walser, [20250716]

Volumensatz im Dreieck

1 Worum es geht

Der Inkreis eines allgemeinen Dreiecks führt zu einem Volumensatz mit Ellipsoiden.

2 Der Volumensatz

In einem Dreieck ist das Volumen des Rotationsellipsoides mit dem Inkreis als Äquator und dem Umfang als Rotationsachse gleich dem Volumen des Ellipsoides mit den Tangentenabschnitten von den Ecken an den Inkreis als Halbachsen.

3 Herleitung

Wir arbeiten in einem Dreieck mit den Seiten a, b und c sowie den Inkreisradius r.

Weiter sei s der halbe Umfang:

Der Flächeninhalt A des Dreieckes kann nun auf zwei Arten berechnet werden:

Umfang mal Inkreisradius durch zwei, also:

A = sr

Heronsche Formel:

A² = s (s – a) (s – b) (s – c)

Gleichsetzen liefert:

s²r² = s (s – a) (s – b) (s – c)

sr² = (s – a) (s – b) (s – c)

Die linke Seite beschreibt das Volumen des Rotationsellipsoides mit dem Inkreis als Äquator und dem Umfang 2s als Rotationsachse (von Pol zu Pol).
Die rechte Seite beschreibt das Volumen des Ellipsoides mit den Halbachsen (s – a), (s – b) und (s – c). Diese Halbachsen sind gleich den Tangentenabschnitten von den Ecken an den Inkreis.

4 Beispiele

4.1 Gleichseitiges Dreieck

Im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 1 ist s = 1.5. Die Tangentenabschnitte sind je 0.5. Der Inkreisradius r ist:

Das Ellipsoid mit den Halbachsen (s – a), (s – b) und (s – c) ist eine Kugel (rot in Abb. 1). Das Rotationsellipsoid (grün in Abb. 1) ist ein sogenanntes verlängertes Rotationsellipsoid (im Unterschied zu einem abgeplatteten Rotationsellipsoid). In unserem Kontext haben wir immer ein verlängertes Rotationsellipsoid, da der Durchmesser des Inkreises kleiner ist als der Umfang des Dreiecks.

In der Abbildung 1 sind die beiden Ellipsoide konzentrisch und achsenparallel gezeichnet.

Abb. 1: Kugel und volumengleiches Rotationsellipsoid

4.2 Lehrerdreieck

Unter dem Lehrerdreieck versteht man das pythagoreische Dreieck mit den Seiten a = 3, b = 4 und c =5 (Abb. 2). Der Inkreisradius ist r = 1. Weiter ist s = 6 und daher (s – a) = 3, (s – b) = 2 und (s – c) = 1.

Abb. 2: Lehrerdreieck

Die Abbildung 3 zeigt die zugehörigen volumengleichen Ellipsoide.

Abb. 3: Volumengleiche Ellipsoide

Bemerkung: Die pythagoreischen Dreiecke haben immer einen ganzzahligen Inkreisradius. Daher sind die Daten für die beiden Ellipsoide ganzzahlig.