Hans Walser, [20191014]
Winkeldrittelung mit Winkelhalbierenden
Anregung: Jean Pedersen, Santa Clara University
Mit einer Zick-Zack-Figur im Winkelfeld kann ein Winkel im Limes gedrittelt werden.
Abb. 1: Zick-Zack-Figur
Die erste rote Linie (links) im Winkelfeld kann beliebig gelegt werden. Die anschlie§ende blaue Linie ist die Winkelhalbierende des durch die rote Linie und die Oberkante des Winkelfeldes gebildeten Winkels. Die anschlie§ende rote Linie ist die Winkelhalbierende des durch die blaue Linie und die Unterkante des Winkelfeldes gebildeten Winkels. Und so weiter und so fort.
Das Winkelfeld aus Papier wird zunŠchst einmal beliebig nach oben gefaltet und dann wieder zurźckgefaltet. Das ergibt die erste rote Linie als Faltlinie. Die anschlie§ende blaue Winkelhalbierende kann durch Anlegen der Oberkante des Winkelfeldes an die rote Linie erfaltet werden. Die anschlie§ende rote Winkelhalbierende ergibt sich durch Anlegen der Unterkante des Winkelfeldes an die blaue Linie. Und so weiter und so fort.
Der
Winkel definiert
das Winkelfeld (Abb. 2). Mit dem Startwinkel
wird die
erste rote Linie festgelegt.
Abb. 2: Bezeichnungen
Abb. 3: Rekursion
Wir
arbeiten mit Wechselwinkeln an Parallelen gemŠ§ Abbildung 3. Der zu halbierende
Winkel ist der ErgŠnzungswinkel von auf den
gestreckten Winkel
. Daher ist:
(1)
Wie gro§
ist ?
Wir
nehmen an, dass fźr den Grenzwert die
Rekursion (1) stabil ist (Lilo: Limit in, limit out), also:
(2)
Aus (2) ergibt sich die Vermutung:
(3)
Es
erscheint die Drittelung des Winkels .
Wir fźhren als neue Folge die Abweichung vom vermuteten Grenzwert (3) ein:
(4)
Nun setzen wir (4) in die Rekursion (1) ein:
(5)
Beim Umformen fŠllt vieles weg, und es bleibt:
(6)
Die Abweichungen vom vermuteten Grenzwert bilden also eine Nullfolge. Damit ist die Vermutung (3) bewiesen.
In der
Vermutung (3) erscheint zusŠtzlich zum Drittelwinkel der Winkel
. Dies ist ein Innenwinkel des gleichseitigen
Dreiecks. Durch Einfźgen von gleichseitigen Dreiecken kšnnen wir diesen Zusatzterm
ăeliminierenŇ (Abb. 4).
Abb. 4: Gleichseitige Dreiecke
Die
źbrigbleibenden kleinen wei§en Winkel fźhren im Limes zu .
Mit dem speziellen (ăgezinktenŇ) Startwinkel
(7)
erhalten
wir eine konstante Folge und damit eine regelmŠ§ige Figur (Abb. 5 fźr ). Die RegelmŠ§igkeit ist durch eine Strecksymmetrie
gegeben.
Abb. 5: RegelmŠ§ige Figur
Der Streckfaktor s ist allgemein:
(8)
Fźr unser
Beispiel erhalten
wir s Ĺ 2.1372.
Wir kšnnen die Figur mit Hilfe der Strecksymmetrie fortsetzen nach innen ins Unendliche (Abb. 6) und bei genźgend Platz auch nach au§en.
Abb.6: Fortsetzung nach innen ins Unendliche
Wegen dem
speziellen Winkel kšnnen wir
Rosetten bauen (Abb. 7 und 8).
Abb.7: Der Tanz der Dreiecke
Abb. 8: Rosette
Websites
Hans Walser: Winkeldrittelung nach Archimedes und nach Bolyai
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung_Arc_Bol/Winkeldrittelung_Arc_Bol.htm
Hans Walser: Winkeldrittelung
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Hans Walser: Winkeldrittelung mit Zykloiden
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Hans Walser: Winkeldrittelung mit Hyperbel
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