Hans Walser, [20141105]
Winkelhalbierende Kreise
Anregung und Idee: U. H.-J., W.
1 Worum geht es?
Im Dreieck werden die Zentren des Inkreises und der Ankreise traditionellerweise mit winkelhalbierenden Geraden konstruiert. Es geht aber auch mit ãwinkelhalbierendenÒ Kreisen (rot und blau in Abb. 1).
Abb. 1: Inkreis und Ankreise
Die Frage ist natŸrlich, warum das ãwinkelhalbierendeÒ Kreise sind, das hei§t, welchen Winkel sie halbieren, und wie sie konstruiert werden kšnnen.
2 Winkelhalbierende Kreise
Zu einem
Dreieck ABC mit der Ÿblichen Notation
zeichnen wir den Umkreis mit dem Mittelpunkt D sowie die Bogenmitten 
und 
. Diese Bogenmitten liegen auf der Mittelsenkrechten 
(Abb. 2). Nun
zeichnen wir den blauen Kreis mit dem Zentrum 
durch A. Aus SymmetriegrŸnden verlŠuft er auch
durch B.
Ferner
zeichnen wir in A das Lot auf die
Seite c. Dann sind die in der
Abbildung 2 eingezeichneten zyanfarbenen und magentafarbenen Winkel alle gleich
gro§, nŠmlich 
.
Abb. 2: Winkelhalbierender Kreis
Der blaue
Kreis halbiert also den Winkel zwischen der Seite c und dem durch 
verlaufenden
Bogen 
des Umkreises.
Der kurze Bogen 
des blauen
Kreises ist Ortsbogen Ÿber c fŸr den
Winkel 
. Der lange Bogen 
des blauen
Kreises ist Ortsbogen Ÿber c fŸr den
ErgŠnzungswinkel 
. Daher liegen (WinkelŸberlegungen mit Ÿblichen
Winkelhalbierenden) auch die Mittelpunkte der Ankreise an a und an b auf dem langen
Bogen 
des blauen
Kreises.
Weiter
zeichnen wir den roten Kreis mit dem Zentrum 
durch A (Abb. 3). FŸr diesen roten Kreis
kšnnen wir analog zum blauen Kreis Ÿberlegen, wobei der Dreieckswinkel 
durch den
Au§enwinkel 
zu
ersetzen ist.
Abb. 3: Zweiter winkelhalbierender Kreis
Der kurze
Bogen 
des roten
Kreises ist Ortsbogen Ÿber c fŸr den
Winkel 
. Daher liegt (WinkelŸberlegungen mit Ÿblichen
Winkelhalbierenden) der Inkreismittelpunkt auf diesem kurzen Bogen 
. Der lange Bogen 
des roten
Kreises ist Ortsbogen Ÿber c fŸr den
Winkel 
. Daher liegt der Mittelpunkt des Ankreises an c auf diesem Bogen.
Durch zyklische Vertauschung erhalten wir daher:
Die drei roten Kreise schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises.
Je zwei blaue und ein roter Kreis schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt eines Ankreises.
Die Abbildung 4 zeigt nochmals die Abbildung 1, nun aber mit Konstruktionsinformationen.
Abb. 4: Konstruktion