Hans Walser, [20190712]

Winkelverscherung

Anregung: Gerhard Stettler, Langnau

1   Worum geht es?

Bewegliche und rigide geometrische Figuren aus Metallwinkel. Rigide Modelle gibt es nur fŸr vier oder sechs Metallwinkel.

2   Das Holzmodell

Von Gerhard Stettler erhielt ich das Holzmodell der Abbildung 1.

Abb. 1: Holzmodell

Das Holzmodell (es dient als Untersatz fŸr einen auf einer Ecke stehenden WŸrfel) besteht aus sechs halben WŸrfeln. Die WŸrfel sind lŠngs einer Diagonalebene halbiert, es sind also Prismen mit einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck als GrundflŠche. Die halben Quadrate sind kreuzweise an ihren Quadratseiten verleimt. Die OberflŠche des Holzmodells besteht aus sechs Rechtecken im SeitenverhŠltnis  (DIN-Format) und zwšlf rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecken.

3   Winkel und Scherengelenk

Wir denken uns die halben WŸrfel nicht verleimt, sondern mit einem Pivot (drehbarer Stift) in den Quadratmitten verbunden. Damit funktionieren sie gleich wie Metallwinkel (Abb. 2a), welche durch eine (lockere) Schraube nach dem Prinzip eines Scherengelenks verbunden sind (Abb. 2b). Die Metallwinkel berŸhren sich auf der Au§enseite.

Abb. 2: Winkel und Scherengelenk

Technisches: Metallwinkel aus Stahlband, 16mm breit. SchenkellŠnge bis zur Bohrung 32mm. Bohrung 4.2mm. Gelenke aus M4-Schrauben, 8mm lang. Zwischen den Winkeln eine Unterlagscheibe.

4   Das Beispiel

Dem Holzmodell der Abbildung 1 entspricht das aus sechs Metallwinkeln gebaute Modell der Abbildung 3. Die Verscherungswinkel sind alternierend ±90¡.

Abb. 3: Sechs Metallwinkel

Das Modell ist rigide. Auch wenn die Schrauben noch nicht ganz angezogen sind, lŠsst es sich nicht mehr verscheren.

Die Achsenrichtungen der sechs Schrauben entsprechen den Richtungen der roten Kanten des WŸrfelmodells der Abbildung 4.

Abb. 4: Schraubenrichtungen

Im Modell der Abbildung 5 sind die Schraubenrichtungen als Metallachsen realisiert.

Abb. 5: Achsen der Schraubenrichtungen

Es gibt (Abb. 7, 8, 10, 11) auch aus sechs Metallwinkeln gebaute flexible Modelle.

5   †bersicht

Wir versuchen eine †bersicht bezŸglich der Anzahl n der verbauten Metallwinkel. Die Kette der Metallwinkel soll geschlossen sein.

5.1  Keine Lšsung mit zwei oder drei Metallwinkeln

FŸr n = 2 und n = 3 habe ich keine Lšsung gefunden.

5.2  Rigide Lšsung mit vier Metallwinkeln

FŸr n = 4 gibt es nur das rigide Modell der Abbildung 6. Das Modell ist flach. Die Verscherungswinkel sind 0¡.

Abb. 6: Vier Metallwinkel

5.3  Keine Lšsung mit fŸnf Metallwinkeln

FŸr n = 5 gibt es keine Lšsung.

5.4  Zwei wesentlich verschiedene Lšsungen mit sechs Metallwinkeln

FŸr n = 6 gibt es zunŠchst die rigide Lšsung der Abbildungen 3 und 5.

Wenn wir in diesem Modell eine Schraube lšsen und das Modell andersherum wieder zusammenschrauben, ergibt es eine flexible Lšsung. Die Abbildungen 7 und 8 zeigen zwei Situationen, welche ihrerseits ohne …ffnen einer Schrauben ineinander ŸbergefŸhrt werden kšnnen.

Abb. 7: Sechs Metallwinkel

In der Situation der Abbildung 8 sind die Verscherungswinkel ±90¡ oder 0¡.

Abb. 8: Andere Position

Die Achsenrichtungen der sechs Schrauben in der Abbildung 8 entsprechen den Richtungen der roten Kanten des WŸrfelmodells der Abbildung 9.

Abb. 9: Schraubenrichtungen

Im Modell der Abbildung 10 sind die Schraubenrichtungen als Metallachsen realisiert.

Abb. 10: Schraubenrichtungen als Achsen.

Das Modell ist flexibel (Abb. 11).

Abb. 11: Flexibles Modell

Im Prinzip handelt es sich hier um die vielerorts besprochene geometrische Knetmaschine.

5.5  Sieben Metallwinkel

FŸr n = 7 gibt es zwei flexible Lšsungen, die aber nicht ineinander ŸberfŸhrbar sind.

Die Abbildungen 12, 13, 14, 15 zeigen zwei Situationen fŸr die eine Lšsung.

Abb. 12: Sieben Metallwinkel. Erste Lšsung. Bilaterale Symmetrie

Im Modell der Abbildung 13 sind die Schraubenrichtungen als Metallachsen realisiert.

Abb. 13: Schraubenrichtungen als Achsen

Die Abbildungen 14 und 15 zeigen eine andere Position. Diese ha keine Symmetrien.

Abb. 14: Sieben Metallwinkel. Erste Lšsung, andere Position. Ohne Symmetrie

Das funktioniert auch mit Achsen (Abb. 15).

Abb. 15: Schraubenrichtungen als Achsen

Die Abbildungen 16 bis 19 zeigen zwei verschiedene Situationen fŸr die andere Lšsung, ZunŠchst mit Schrauben, dann mit Achsen.

Abb. 16: Sieben Metallwinkel. Zweite Lšsung. Bilaterale Symmetrie

Abb. 17: Schraubenrichtungen als Achsen

Abb. 18: Sieben Metallwinkel. Zweite Lšsung, andere Position. Ohne Symmetrie

Abb. 19: Schraubenrichtungen als Achsen

5.6  Vermutung

Ich vermute, dass es fŸr n > 7 kein rigides Modell gibt, aber immer ein flexibles Modell. Es gibt bis auf Verscherungen genau ein Modell.

5.7  Acht Metallwinkel

Die Abbildungen 20 bis 2415 zeigen verschiedene Positionen fŸr das Modell mit acht Metallwinkeln.

In der Abbildung 20 haben wir eine vierteilige Rotationssymmetrie sowie eine Drehspiegelsymmetrie.  Die Verscherungswinkel sind alternierend ±114.4698005¡.

Abb. 20: Acht Metallwinkel. Hohe Symmetrie

Die Situation der Abbildung 21 ist flach. Die Verscherungswinkel sind entweder 0¡ oder 180¡.

Abb. 21: Flache Situation

In der Situation der Abbildung 22 haben wir eine zweiteilige Drehsymmetrie sowie eine Drehspiegelsymmetrie.

Abb. 22: Recht spezielle Situation

In der Situation der Abbildung 23 sind die Verscherungswinkel 0¡, ±90¡, 180¡.

Abb. 23: Eine andere spezielle Situation

Die Abbildung 24 zeigt eine Verscherung (Parallelogramm) der Situation der Abbildung 23.

Abb. 24: Verscherung der Situation der Abb. 23

5.8  Zehn Metallwinkel

Die Abbildungen 25 bis 28 zeigen Situationen fŸr das Modell mit zehn Metallwinkeln.

Die Situation der Abbildung 25 hat eine hohe Symmetrie. Wir haben eine fŸnfteilige Drehsymmetrie sowie eine Drehspiegelsymmetrie. Die Verscherungswinkel sind alternierend ±128.1727076¡.

Abb. 25: Hohe Symmetrie

In den Situationen der Abbildungen 26, 27 und 26 haben wir nur Verscherungswinkel von 0¡, ±90¡ und 180¡.

Abb. 26: Spezielle Verscherungswinkel

Abb. 27: Spezielle Verscherungswinkel

Abb. 28: Spezielle Verscherungswinkel

6   Drehsymmetrie

Die Beispiele der Abbildungen 5, 3, 11 und 16 haben dieselbe Symmetriestruktur. Wir haben eine Drehsymmetrie und eine Drehspiegelsymmetrie. Die Verscherungswinkel sind alternierend und betragsmŠ§ig konstant. Die Anzahl der Metallwinkel ist gerade.

Die Tabelle 1 gibt die Verscherungswinkel fŸr die ersten Beispiele.

 

Anzahl Metallwinkel

Verscherungswinkel

4

0¡

6

90¡

8

114.4698005¡

10

128.1727076¡

12

137.0585971¡

14

143.3155429¡

16

147.9687631¡

18

151.5682942¡

20

154.4372211¡

22

156.7782817¡

24

158.7253182¡

100

174.9079930¡

10000

179.9490882¡

 

Tab. 1: Verscherungswinkel im symmetrischen Fall

Der Verscherungswinkel w berechnet sich in diesem symmetrischen Fall mit:

 

                                                                                                 (1)

 

7   Link mit gleichseitig-rechtwinkligen Polygonen

Die Schraubenachsen unserer Modelle bilden ein geschlossenes n-seitiges gleichseitig-rechtwinkliges Polygon. Die SeitenlŠnge ist das Doppelte der SchenkellŠnge der Metallwinkel. Die Rechtwinkligkeit ergibt sich daraus, dass die Metallwinkel einen rechten Winkel einschlie§en.

Die Verscherungswinkel entsprechen den Torsionen der Kanten des gleichseitig-rechtwinkligen Polygons.

 

8   Ausblick

Wir haben unter ãWinkelÒ stillschweigend rechte Winkel verstanden. Wie ist es mit Metallwinkeln, die einen anderen Winkel einschlie§en?

 

 

Websites

Hans Walser: Gleichseitig-rechtwinklige Polygone im Raum

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gls_rw_Polygone/Gls_rw_Polygone.htm

 

Hans Walser: Siebeneck im Raum

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Siebeneck/Siebeneck.htm