Hans Walser, [20220825]

Würfel auf Plattkarte

1 Worum geht es?

Der Würfel wird vom Mittelpunkt aus auf die Umkugel projiziert und die sphärische Figur im Sinne der Plattkarte (Abb. 1) abgebildet.

Abb. 1: Plattkarte der Erde

Es entstehen schöne Bildchen.

2 Würfel auf Seitenquadrat

Wir arbeiten zunächst mit einem auf einem Seitenquadrat stehenden Würfel (Abb. 2a).

Abb. 2a: Würfel

Die Abbildung 2b zeigt die Projektion dieses Würfels auf seine Umkugel.

Abb. 2b: Projektion auf Umkugel

Auf der Kugel ergeben sich Großkreisbögen (Abb. 3).

Abb. 3: Großkreisbögen

Die Abbildung 4 zeigt das Bild auf der Plattkarte.

Abb. 4: Auf der Plattkarte

Wir können zusätzlich die Diagonalen einzeichnen (Abb. 5 und 6). Die Kanten und die Diagonalen ergänzen sich zu durchgehenden Großkreisen.

Abb. 5: Diagonalen

Abb. 6: Diagonalen auf der Plattkarte

Wenn wir die Bilder der Würfelkanten herausnehmen, bleibt ein sphärisches Rhombendodekaeder übrig (Abb. 7 und 8).

Abb. 7: Sphärisches Rhombendodekaeder

Abb. 8: Rhombendodekaeder auf der Plattkarte

3 Würfel auf Ecke

In der Abbildung 9 wird von einem auf einer Ecke stehenden Würfel ausgegangen. Eine Ecke ist also im Nordpol, die gegenüberliegende Ecke im Südpol.

Abb. 9: Auf einer Ecke stehender Würfel

Auf der Plattkarte erscheinen die beiden Pole als Strecken (Abb. 10).

Die in Süd-Nord-Richtung verlaufenden Bögen erscheinen als Strecken.

Die anderen Bögen erscheinen leicht gekrümmt mit einem Wendepunkt in der Mitte, was man bei genauem Hinsehen feststellen kann.

Abb. 10: Auf der Plattkarte

Wir können zusätzlich die Diagonalen einzeichnen (Abb. 11 und 12). Die Kanten und die Diagonalen ergänzen sich zu durchgehenden Großkreisen.

Abb. 11: Diagonalen

Abb. 12: Diagonalen auf Plattkarte

Wenn wir die Bilder der Würfelkanten herausnehmen, bleibt ein sphärisches Rhombendodekaeder übrig (Abb. 13 bis 15).

Abb. 13: Rhombendodekaeder

Die sphärischen Rhombendodekaeder haben aus Symmetriegründen zwei rechte Winkel und zwei Winkel von 120°, wie die Sicht von oben (Abb. 14) zeigt.

Abb. 14: Sicht von oben

Abb. 15: Rhombendodekaeder auf Plattkarte

4 Keine Sinuswellen

Die wellenartigen rot-grünen Kurven in den Abbildungen 6 und 12 sind keine Sinus- oder Kosinuskurven. Mit der geografischen Breite φ und der geografischen Länge λ haben sie die Funktionsgleichung:

φ = arctan(tan(α)sin(λ – β))

Dabei sind α der Schnittwinkel mit dem Äquator (und damit auch die Amplitude in der geografischen Breite) und β die Phasenverschiebung.

Weblinks

Hans Walser: Sphärische platonische Körper

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sphaer_platon_Koerper/Sphaer_platon_Koerper.html

Hans Walser: Würfelwelt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelwelt/Wuerfelwelt.html