Hans Walser, [20170809]

WŸrfel und Oktaeder

Anregung: H. Sch., W.

1     Worum geht es?

Das Kantenmittenviereck eines Quadrates ist wiederum ein Quadrat (Abb. 1a). Die Diagonalen des einbeschriebenen roten Quadrates sind parallel zu den Seiten des schwarzen Ausgangsquadrates.

Abb. 1: Quadrat im Quadrat

Wir kšnnen aber dem schwarzen Quadrat auch ein schiefstehendes rotes Quadrat einbeschreiben (Abb. 1b). Die Diagonalen des roten Quadrates sind nicht mehr parallel zu den Seiten des schwarzen Quadrates.

Im dreidimensionalen Raum bilden die Seitenmitten eines WŸrfels die Eckpunkte eines Oktaeders (Abb. 2a). Kann dem WŸrfel auch ein schiefstehendes regulŠres Oktaeder einbeschrieben werden?

Abb. 2: Oktaeder im WŸrfel

2     Oktaederecken auf WŸrfelkanten

Wir wŠhlen im WŸrfel zwei diametrale Eckpunkte (blau in Abb. 3a). Die drei von diesen WŸrfelecken ausgehenden Kanten unterteilen wir im VerhŠltnis 3:1 (rot in Abb. 3a). Die insgesamt sechs Teilpunkte sind die Ecken eines regulŠren Oktaeders (Abb. 3b).

Abb. 3: Okteaderecken auf WŸrfelkanten

Von den zwšlf Oktaederkanten liegen sechs auf der WŸrfeloberflŠche. Diese haben im EinheitswŸrfel die LŠnge:

 

                                                                                                                               (1)

 

Die anderen sechs Oktaederkanten verlaufen im WŸrfelinneren. FŸr ihre LŠnge ergibt sich:

 

                                                                                               (2)

 

Das Oktaeder ist also regulŠr. Zu diesem Beispiel siehe [1] .

3     Allgemeine Lšsung

Wir legen ein Koordinatensystem so in den WŸrfel, dass der Ursprung im WŸrfelmittelpunkt liegt, die Koordinatenachsen parallel zu den WŸrfelkanten liegen und die SeitenlŠnge des WŸrfels 2 ist (Abb. 4).

Abb. 4: Koordinatensystem

Nun legen wir einen Doppelkegel in den WŸrfel. Der Doppelkegel hat die Spitze im Ursprung, die Achse geht durch den Punkt  und der halbe …ffnungswinkel ist:

 

                                                                                             (3)

 

Die Abbildung 5 zeigt die Situation. Der Doppelkegel enthŠlt Tripel paarweise orthogonaler Mantellinien.

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ASCII: .........
HEX: 000000000000000000
tIME chunklen HEX: 0000000000000000007 ignored:
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Compiler: 4.2.1 Compatible Apple LLVM 6.0 (clan

Abb. 5: Doppelkegel im WŸrfel

Der Doppelkegel schneidet aus jeder WŸrfelseite eine Hyperbel heraus. FŸr das Deckquadrat des WŸrfels (z = 1) hat die Hyperbel die Gleichung (CAS):

 

                                                                                                                   (4)

 

Auf dieser Hyperbel liegen also beispielsweise der Seitenmittelpunkt des Deckquadrates, was zum Oktaeder der Abbildung 2a fŸhrt, oder der Punkt , was zum Oktaeder der Abbildung 3b fŸhrt.

Wir kšnnen nun irgendeinen Punkt auf dieser Hyperbel wŠhlen. Zusammen mit den entsprechenden Punkten auf den anderen WŸrfelseiten erhalten wir die sechs Eckpunkte eines regulŠren Oktaeders.

Beispiel: Der Punkt  erfŸllt (4). Die sechs Punkte (rot in Abb. 6a)

 

                                                                                 (5)

 

sind die Ecken eines regulŠren Oktaeders. Man rechnet leicht nach, dass die Diagonalen alle gleich lang und paarweise orthogonal sind.

Abb. 6: Allgemeiner Fall

4     Volumenanteile

Das Volumen des Oktaeders der Abbildung 2a ist ein Sechstel des WŸrfelvolumens.

Das Volumen des Oktaeders der Abbildung 3b ist  des WŸrfelvolumens.

Das Volumen des Oktaeders der Abbildung 6b ist  des WŸrfelvolumens.

Websites

[1] Hans Walser: WŸrfel und Oktaeder (10.08.2017):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfel_und_Oktaeder/Wuerfel_und_Oktaeder.htm