Hans Walser, [20140507a]

WŸrfelverdoppelung mit Stern und Spirale

1     Worum geht es?

Die volumenmŠ§ige WŸrfelverdoppelung ist mit Zirkel und Lineal nicht durchfŸhrbar. Es geht aber mit anderen Methoden, so auch mit einer geeigneten Spirale und eine regelmŠ§igen 3-Stern.

2     Spirale und Stern

Wir verwenden die logarithmische Verdoppelungsspirale, deren Abstand vom Zentrum sich mit einem Umlauf verdoppelt (Abb. 1a). Die Spirale hat die Parameterdarstellung:

 

 

Abb. 1: Spirale und Stern

 

Die Abbildung 1b zeigt den Stern. Er erinnert an das Logo einer Automarke.

3     Vorgehen zur WŸrfelverdoppelung

Wir wollen den WŸrfel der Abbildung 2 volumenmŠ§ig verdoppeln.

Abb. 2: AusgangswŸrfel

 

Als ReferenzlŠnge nehmen wir die senkrechte blau eingezeichnete Kante.

3.1    †bertragung auf Stern

Wir Ÿbertragen die ReferenzlŠnge auf den senkrechten Ast des Sternes (Abb. 3). Zugleich setzen wir den Stern mittig auf die Spirale.

Abb. 3: ReferenzlŠnge, Stern und Spirale

 

Wir sehen, dass der obere Punkt der ReferenzlŠnge nicht auf der Spirale liegt.

3.2    Drehen der Spirale

Nun drehen wir die Spirale im Uhrzeigersinn. Dadurch wird sie scheinbar grš§er. Wir drehen so lange, bis sie durch den oberen Punkt der ReferenzlŠnge geht (Abb. 4).

Abb. 4: Gedrehte Spirale

 

Auf den beiden anderen €sten des Sterns haben wir nun eine Strecke (rot), welche etwas lŠnger ist als die blaue Referenzstrecke sowie eine Strecke (lila), welche etwas kŸrzer ist als die blaue Referenzstrecke.

Die rote Strecke ist die ReferenzlŠnge fŸr den volumenmŠ§ig doppelt so gro§en WŸrfel (Abb. 5a), die lila ReferenzlŠnge gehšrt zum volumenmŠ§ig halb so gro§en WŸrfel (Abb. 5b).

Abb. 5: Doppelt und halb so gro§es Volumen

4     Beweis

Der Beweis geht wie folgt. Bei einer logarithmischen Spirale wŠchst der Radius exponentiell mit dem Drehwinkel.

FŸr eine volle Drehung haben wir den Wachstumsfaktor 2. FŸr eine Dritteldrehung ergibt sich der Faktor . Das ist genau der Faktor, den wir als LŠngenverŠnderungsfaktor fŸr die Volumenverdoppelung brauchen.

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