Hans Walser, [20190130]
Wurzel-2-Dreieck
Anregung: Horst Steibl, Braunschweig
Das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck (Abb. 1a) hat das SeitenverhŠltnis .
Wir vertauschen nun die beiden LŠngen und arbeiten mit dem gleichschenkligen Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis (Abb. 1b). Dieses Dreieck nennen wir das Wurzel-2-Dreieck.
Abb. 1: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck und Wurzel-2-Dreieck
Beide Dreiecke kšnnen mit je drei Rechtecken im DIN-Format (Walser 2013) ausgelegt werden (Abb. 2).
Abb. 2: DIN-Rechtecke
Fźr das Wurzel-2-Dreieck mit der BasislŠnge 1 gelten folgende Ma§e (Bezeichnungen nach Abb. 3).
Abb. 3: Ma§e und Bezeichnungen
Es ist:
(1)
Dieser Winkel ist der Spitzenwinkel des Dreiecks, kommt aber auch an anderen Orten vor.
Weiter ist:
(2)
(3)
(4)
Weiter gilt fźr die Schwerlinien und :
(5)
Die Dreiecke und sind daher ebenfalls Wurzel-2-Dreiecke.
Die Abbildung 4 zeigt eine Zerlegung des Wurzel-2-Dreieckes durch eine von einer Basisecke ausgehende Schwerlinie in zwei flŠchengleiche Dreiecke.
Abb. 4: Zerlegung
Das eine der beiden Dreiecke (himmelblau) ist ebenfalls ein Wurzel-2-Dreieck. Das andere (orange) Dreieck hat das SeitenverhŠltnis . Der Lehrer LŠmpel bringt hier die Bemerkung an, das sei eine geometrische Folge. Wir bezeichnen dieses Dreieck mit dem sperrigen Namen Wurzel-2-Nebendreieck.
Das Wurzel-2-Nebendreieck kann in eine Folge von Wurzel-2-Dreiecken zerlegt werden (Abb. 5a). Dabei wird der FlŠcheninhalt der Dreiecke schrittweise halbiert. Die SchenkellŠnge des folgenden Dreieckes ist die BasislŠnge des vorhergehenden Dreieckes. Zusammen mit dem Wurzel-2-Dreieck unten rechts haben wir nun eine Zerlegung des ursprźnglichen Wurzel-2-Dreiecks in eine Folge von Wurzel-2-Dreiecken.
Diese Zerlegung erinnert an die Zerlegung des DIN A0-Rechteckes in Rechtecke DIN A1, A2, A3, ... (Walser 2013, S. 11, Abb. 1.4).
Abb. 5: Zerlegung
Wir kšnnen umgekehrt das Wurzel-2-Dreieck in eine Folge von Wurzel-2-Nebendreiecken zerlegen. Die Abbildung 6a zeigt eine einfache Lšsung mit dem Grenzpunkt rechts unten, die Abbildung 6b eine spiralfšrmige Lšsung mit einem Grenzpunkt im Innern. In der Abbildung 6a sind die orangen und die grźnen Dreiecke ungleichsinnig Šhnlich. In der Abbildung 6b sind alle Teildreiecke gleichsinnig Šhnlich.
Es gibt unendlich viele weitere Lšsungen.
Abb. 6: Zerlegungen in Wurzel-2-Nebendreiecke
Frage: Gibt es analoge Zerlegungen fźr andere Dreiecke?
Das Wurzel-2-Dreieck kann durch Falten konstruiert werden. Dies geht sowohl mit einem Papier im DIN-Format wie auch mit einem quadratischen Origami-Papier. Beide Faltkonstruktionen sind exakt.
Die Abbildung 7 zeigt den Faltvorgang. Zu Orientierungszwecken wird angenommen, das Papier sei vorne gelb und hinten magenta.
Die beiden schrŠgen Faltlinien definieren das Wurzel-2-Dreieck.
Abb. 7: Falten bei DIN-Papier
Die Abbildung 8 zeigt den Faltvorgang.
Abb. 8: Falten bei Origami-Papier
Wer clever ist, holt noch ein zweites Wurzel-2-Dreieck heraus.
Wir schneiden auf halber Hšhe die Spitze des Wurzel-2-Dreieckes ab (Abb. 9a). Es bleibt ein gleichschenkliges Trapez źbrig. Durch Strecken mit dem Faktor erhŠlt die Grundparallele die LŠnge , die Schenkel erhalten die LŠnge 1 und die Deckparallele die LŠnge , also den Kehrwert der Grundparallele (Abb. 9b). Die Diagonalen erhalten ebenfalls die LŠnge .
Abb. 9: Abschneiden zum Trapez
Dieses Trapez kann als spezielle Position eines Gelenkmodells gesehen werden, das aus den vier in der Abbildung 9b fett eingezeichneten StŠben der LŠngen und 1 besteht (Walser 2013, S. 37, 38, 44). Die beiden Parallelseiten haben dann inverse LŠngen. Die Abbildung 10 zeigt zwei andere Positionen dieses Gelenkmodells.
Abb. 10: Andere Positionen
Den Spitzenwinkel des Wurzel-2-Dreieckes treffen wir auch bei der dimetrischen Axonometrie an (Abb. 11a mit den Einheitsvektoren auf den Achsen). Ebenfalls treffen wir dort den Schnittwinkel der beiden Schwerlinien und an. Die Winkel in der Abbildung 11 sind rein planimetrisch zu verstehen, nicht etwa rŠumlich. Im Raum misst ja der Winkel zwischen der y-Achse und der z-Achse 90ˇ.
Abb. 11: Dimetrische Axonometrie
In der Abbildung 11b ist das dimetrische Bild des Einheitswźrfels eingetragen.
Das SeitenverhŠltnis im Wurzel-2-Dreieck ist irrational. Es gibt aber auch Dreiecke mit rationalen SeitenverhŠltnissen, bei denen Vielfache (modulo 180ˇ) der Winkel und erscheinen.
Abb. 12: SeitenverhŠltnis 3:2:2
Dieses Dreieck erscheint auch als Teildreieck in der Abbildung 3.
Abb. 13: SeitenverhŠltnis 1:4:4
Die Winkel sind modulo 180ˇ verdoppelt.
Abb. 14: SeitenverhŠltnis 9:8:8
Die Winkel sind modulo 180ˇ verdreifacht.
Abb. 15: SeitenverhŠltnis 31:16:16
Die Winkel sind modulo 180ˇ vervierfacht.
Abb.16: SeitenverhŠltnis 57:32:32
Die Winkel sind modulo 180ˇ verfźnffacht.
Frage: Gibt es ein analoges Vorgehen fźr andere Winkel?
Die Tabelle 1 gibt eine †bersicht.
Faktor |
Basis |
Schenkel |
Schenkel |
1 |
3 |
2 |
2 |
2 |
1 |
4 |
4 |
3 |
9 |
8 |
8 |
4 |
31 |
16 |
16 |
5 |
57 |
32 |
32 |
6 |
47 |
64 |
64 |
7 |
87 |
128 |
128 |
8 |
449 |
256 |
256 |
9 |
999 |
512 |
512 |
10 |
1201 |
1024 |
1024 |
Tab. 1: †bersicht
Fźr den Vervielfachungsfaktor n ist die SchenkellŠnge:
(6)
Fźr die BasislŠnge gilt:
(7)
Mit
(8)
erhalten wir die Werte der Tabelle 2.
n |
|
|
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
4 |
3 |
–9 |
8 |
4 |
–31 |
16 |
5 |
–57 |
32 |
6 |
–47 |
64 |
7 |
87 |
128 |
8 |
449 |
256 |
9 |
999 |
512 |
10 |
1201 |
1024 |
Tab. 2: Mit Minuszeichen
Bei der Folge handelt es sich um die Folge A247563 der oeis. Sie hat die Rekursion:
(9)
Weblinks
Oeis, The On-Line Encyclopedia for Integer
Sequences:
Horst Steibl, Braunschweig:
Hans Walser: Miniaturen: DIN-Format:
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/DIN_Format/index.html
Literatur
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.