Hans Walser, [20090505a]

Wurzeln aus der Einheitsmatrix

1        Worum es geht

Wir suchen 2,2-Matrizen X mit der Eigenschaft:

Dabei ist E die Einheitsmatrix.

Die Lšsungen X werden als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung interpretiert. Die so entstehenden Abbildungen haben die Eigenschaft, dass ihre zweimalige Anwendung die IdentitŠt ist.

1.1      Analogie zu reellen Zahlen

Die Gleichung  hat die beiden Lšsungen  und . Die Frage ist nun, wie viele Lšsungen es im Falle von 2,2-Matrizen gibt.

2        Beispiele

Triviale Beispiele:

Weitere Lšsungen sehen wir bald:

3        Ansatz

Wir arbeiten fŸr X mit dem Ansatz:

Damit ist:

Es ergeben sich die vier Gleichungen:

Wegen  ist :

4        Fallunterscheidung

Nun eine etwas mŸhsame Fallunterscheidung:

Fall 1:

Fall 2:  (symmetrische Matrix)

Fall 3:

Fall 4:

Fall 5:  (symmetrische Matrix)

Fall 6:

4.1      Fall 1

Aus (i) folgt  und aus (ii) folgt . Wir erhalten die zweiparametrige Lšsungsschar:

Es ist . FŸr die Eigenwerte erhalten wir  und  mit den Eigenvektoren:

 und

Die lineare Abbildung mit der Matrix X ist eine SchrŠgspiegelung, deren Spiegelachse und Spiegelrichtung durch die Eigenvektoren  und  gegeben sind.

Beispiel: FŸr  und  ergibt sich die Matrix

mit den Eigenvektoren:

 und

In der nachfolgenden Figur ist das Urbild grŸn, das Bild rot, die Spiegelachse blau und

die Spiegelrichtung magenta eingetragen.

SchrŠgspiegelung

4.2      Fall 2

Wir haben eine symmetrische Matrix. Aus  folgt . Die Matrix

hat die Determinante , die Eigenwerte  und  und die Eigenvektoren:

 und

Die beiden Eigenvektoren sind orthogonal, wir haben also eine gewšhnliche Geradenspiegelung.

Beispiel: FŸr  ergibt sich die Matrix

mit den Eigenvektoren:

 und

Geradenspiegelung

4.3      Fall 3

Wegen (i) ist , wegen (ii) folgt . Wir erhalten also die beiden Lšsungsscharen:

 und

Die erste Matrix hat die Determinante , die Eigenwerte  und  und die Eigenvektoren:

 und

Die zweite Matrix hat ebenfalls die Determinante , die Eigenwerte  und , aber die Eigenvektoren:

 und

FŸr  ergibt sich in diesen beiden FŠllen:

 

SchrŠgspiegelungen

4.4      Fall 4

Wegen (i) ist , wegen (iii) ist . Wir erhalten also die beiden Lšsungsscharen:

 und

Die erste Matrix hat die Determinante , die Eigenwerte  und  und die Eigenvektoren:

 und

Die zweite Matrix hat ebenfalls die Determinante , die Eigenwerte  und , aber die Eigenvektoren:

 und

FŸr  ergibt sich in diesen beiden FŠllen:

 

SchrŠgspiegelungen

4.5      Fall 5

Wegen (i) ist , wegen (iv) haben wir . Dies fŸhrt zu den vier Lšsungen:

Die erste dieser Lšsungen ist die IdentitŠt, die zweite die Punktspiegelung am Ursprung, die dritte die Spiegelung an der x-Achse und die vierte die Spiegelung an der y-Achse.

4.6      Fall 6

Wegen (i) ist dann , also . Weiter ist wegen (iv) , also . Wir erhalten die Lšsung:

Die Matrix hat die Determinante , die Eigenwerte  und  und die Eigenvektoren:

 und

Beispiel: FŸr  ergibt sich die Abbildungsmatrix:

Die Abbildung sieht so aus:

SchrŠgspiegelung

5        Zusammenfassung

á    : , , IdentitŠt

á    : , , Spiegelung am Ursprung

á    : , Geradenspiegelung oder SchrŠgspiegelung