Hans Walser, [20150122]

x^y=x*y

Anregung: J. A., B.

1 Worum es geht

Gesucht sind Lösungen der Gleichung:

Triviale Lösungen sind und . Eine nichttriviale Lösung ist .

2 Flächen im Raum

Die Abbildung 1a zeigt die Fläche , die Abbildung 1b die Fläche .

Abb. 1: Flächendarstellung

Die Abbildung 2 zeigt die Schnittkurven der beiden Flächen in allgemeiner und spezieller Sicht.

Abb. 2: Schnittkurven

3 Implicitplot

Die Abbildung 3 zeigt einen implicitplot für die Lösungen der Gleichung .

Abb. 3: Implicitplot

Wir sehen die trivialen Lösungen und eine interessante Kurve.

4 Experimentelle Kurvendiskussion

Die Kurve geht durch den Punkt (e, 1) und hat dort die Steigung (Abb. 4). Ferner hat sie die x-Achse als Asymptote sowie die Gerade x = 1. Weiter verläuft sie durch die schon gefundene nichttriviale Lösung (2, 2) sowie durch .

Abb. 4: Experimentelle Kurvendiskussion

5 Analytische Kurvendiskussion

Für die interessante Kurve ist . Wir können daher unsere Gleichung umformen wir folgt:

Damit können wir unsere Kurve als Funktionsgraf einer Funktion von y sehen (bisschen ungewohnt, Abb. 5).

Abb. 5: Die interessante Kurve

Eigentlich ist die Funktion für nicht definiert. Mit Bernoulli-de l’Hôpital kann die Lücke behoben werden:

Nebenrechnung:

Somit ist:

Das hatten wir ja auch schon experimentell herausgefunden.

Analog können wir die Steigung in diesem Punkt berechnen. Zunächst ist (wir müssen nach y ableiten):

Weiter ist:

Nebenrechnung:

Daher:

Das ist der Kehrwert von unserem experimentell gefundenen Wert. Das muss aber so sein, weil nun die Steigung auf die y-Achse bezogen ist.

Die Abbildung 6 zeigt die Situation im Einheitsraster. Zusätzlich ist noch der Funktionsgraf des natürlichen Logarithmus eingetragen.

Abb. 6: Im Einheitsraster