Hans Walser, [20131119]
Yin Yang, Sin Sang und Weierstra§
1 Yin Yang
Die Abbildung 1 zeigt das klassische Yin Yang.
Abb. 1: Yin Yang
2 Iterationen
Die Abbildung 2 zeigt Iterationen.
Abb. 2: Iterationen
Die Abbildung 3 zeigt die Bestandteile einer solchen Iteration. Dabei ist der untere Halbkreis der Gesamtfigur weggelassen. Die einzelnen Kurven sind aus Halbkreisen zusammengesetzt. Es sind ãWellenlinienÒ, aber keine Sinuskurven.
Abb. 3: Bestandteile
3 Funktionsgrafen
Nun fassen wir diese
Kurven als Funktionsgrafen mit dem Definitionsintervall 
auf. Diese
Funktionen kšnnen durch
beschrieben werden. Wenn jemand eine einfachere Beschreibung findet, bin ich dankbar.
FŸr 
ergibt sich der
Halbkreis. Die unterste Kurve der Abbildung 3 ergibt sich fŸr 
, wie das Kontrollbild der Abbildung 4 zeigt.
Abb. 4: Kontrolle
Nun addieren wir die Funktionen. Wir also arbeiten mit den Funktionen
Und plotten deren Funktionsgrafen.
FŸr 
ergibt sich der
Halbkreis (Abb. 5). Wir haben senkrechte Tangentenrichtungen fŸr x = 0 und x = 1.
Abb. 5: Halbkreis fŸr n = 0
FŸr 
ergibt die Summe
des Halbkreises der bei der Yin Yang Figur (Abb. 1) auftretenden mittleren
Wellenlinie den Funktionsgrafen der Abbildung 6. ZusŠtzlich ist die
†berlagerung der FŠlle n = 0 und n = 1 dargestellt.
Abb. 6: Summierung der ersten beiden Kurven. n = 1
Bemerkenswert ist die
senkrechte Tangentenrichtung bei 
. Wir haben also senkrechte Tangentenrichtungen fŸr 
.
Die Abbildung 7 zeigt
die Summierung fŸr n = 2. Senkrechte
Tangentenrichtungen fŸr 
.
Abb. 7: n = 2
Schlie§lich noch die Situation fŸr n = 3 mit senkrechten Tangentenrichtungen bei allen Achteln (Abb. 8).
Abb. 8: n = 3
Wenn wir einmal senkrechte Tangentenrichtungen haben, haben wir das an den gleichen Stellen in allen nachfolgenden Schritten. ZusŠtzlich entstehen neue senkrechte Tangentenrichtungen je an Stellen in der Mitte zu zwei senkrechten Tangentenrichtungen im vorhergehenden Schritt.
Die Kurven tendieren zu einer Grenzkurve (Abb. 9). Sie ist der Funktionsgraf zu
.
Abb. 9: Grenzkurve
4 Ableitungen
Die Abbildung 10 zeigt
die Ableitung (blau) von 
. Die Ableitung existiert nicht (Pole) fŸr 
und 
(senkrechte Tangenten).
Abb. 10: Ableitung
Die Abbildung 11 zeigt weitere Ableitungen. Wir erhalten Pole fŸr Halbe, Viertel, Achtel, ... .
Abb. 11: Ableitungen
5 Ist folgende †berlegung richtig?
Wir haben senkrechte
Tangentenrichtungen an allen Stellen, die sich durch Halbieren, Vierteln,
Achteln, ... des Einheitsintervalls ergeben, also an allen Stellen, die sich
durch einen endlichen Dualbruch darstellen lassen. Diese Stellen liegen dicht
im Einheitsintervallen. Die Funktion 
ist dort nicht
differenzierbar. Da diese Stellen aber dicht liegen, ist die Funktion im
Einheitsintervall nirgends differenzierbar.
6 Integral
Da der Funktionsgraf
von 
der Halbkreis
Ÿber dem Einheitsintervall ist, haben wir:
Aus SymmetriegrŸnden
haben alle folgenden Summanden in 
das Integral
null. Daher ist allgemein:
Damit ist schlie§lich auch:
7 Sinuskurven
Eine dem Yin Yang nachempfundene Figur kann mit Sinuskurven gezeichnet werden (Abb. 12).
Abb. 12: Sin Sang
Auch dies kann iteriert werden (Abb. 13).
Abb. 13: Iteration
Die einzelnen Wellenlinien haben den Funktionsterm:
Wir kumulieren nun die Wellenlinien. Wir also arbeiten mit den Funktionen:
Die Abbildung 14 zeigt
die Situation fŸr 
.
Abb. 14: n = 1
Die Abbildung 15 zeigt
die Situation fŸr 
.
Abb. 15: n = 2
Die Abbildung 16 zeigt
die Situation fŸr 
.
Abb. 16: n = 3
Die Kurven tendieren zu einer Grenzkurve (Abb. 17). Sie ist der Funktionsgraf zu
.
Abb. 17: Grenzkurve
Funktionen dieser Art dienten Weierstra§ als Beispiele fŸr Ÿberall stetige aber nirgends differenzierbare Funktionen.
Karl Weierstra§, 1815 - 1897
8 Eckige Version
Im Quadrat sieht die Yin Yang-Figur nicht sehr spektakulŠr aus, die Iterationen haben aber einen gewissen Reiz (Abb. 18).
Abb. 18: Yin Yang im Quadrat
Durch Summationen ergeben sich die Polygone der Abbildung 19.
Abb. 19: Summation
Die Polygone tendieren zu einer Grenzkurve (Abb. 20).
Abb. 20: Grenzkurve