Hans Walser, [20200603]

y' = cos(y)

Ich weiß, man sollte nie eine Formel als Titel verwenden.

1 Worum geht es?

Herleitung und Illustration der Differentialgleichung:

(1)

2 Nord-Ost auf der Plattkarte

Auf der Plattkarte (Abb. 1) ist das Richtungsfeld Nord-Ost eingezeichnet.

Abb. 1: Nord-Ost

Da – mit Ausnahme des Äquators – die West-Ost-Verzerrung größer ist als die Süd-Nord-Verzerrung, schließen die Richtungspfeile mit den Breitenkreisen Winkel ein, die kleiner als 45° sind. Auf der geografischen Breite haben wir für die Nord-Ost-Richtung den Winkel:

(2)

Die Richtungspfeile haben also die Steigung .

3 Differentialgleichung

Aus (2) ergibt sich für das Richtungsfeld der Abbildung 1 die Differentialgleichung (1). Die Abbildung 2 zeigt eine Lösungskurve.

Abb. 2: Lösungskurve

Die eingezeichnete Lösungskurve hat die Gleichung:

(3)

Nachweis:

Aus (3) ergibt sich durch Ableiten:

(4)

Wegen

(5)

ist andererseits:

(6)

Aus (4) und (6) folgt die Gültigkeit der Lösung (3).

4 Vergleich mit der arctan-Kurve

Der Autor hat zunächst die arctan-Kurve als Lösungskurve vermutet und war über das Auftreten der inneren sinh-Funktion etwas erstaunt.

Die Abbildung 3 zeigt den Vergleich. Die Lösungskurve (3) ist blau, die arctan-Kurve rot gezeichnet. Die blaue Lösungskurve geht viel rascher an die Asymptote heran. Das hängt damit zusammen, dass die sinh-Funktion im Wesentlichen exponentiell wächst.

Abb. 3: Vergleich

Die Abbildung 4 zeigt einen größeren Ausschnitt.

Abb. 4: Größerer Ausschnitt