Hans Walser, [20130516], [20130520], [20130525b]

Zerlegungsgleichheit

1        Worum es geht

In der Ebene sind flŠchengleiche Polygone immer auch zerlegungsgleich.

Wie finden wir bei Dreiecken und Rechtecken eine gemeinsame Zerlegung?

2        Dreiecke

2.1      Gleiche Grundlinie und gleiche Hšhe

Zwei Dreiecke mit gleicher Grundlinie und gleicher Hšhe sind flŠchengleich. Die Abbildung 1 zeigt das Vorgehen zur Auffindung der Zerlegungsgleichheit. Dabei werden 5 Puzzle-Teile verwendet. Wir arbeiten mit einem Vergleichsrechteck.

Abb. 1: Gleiche Grundlinie und Hšhe


Es geht auch mit nur vier Puzzle-Teilen (Abb. 2). Wir arbeiten mit einem Vergleichsparallelogramm, das sich am oberen Dreieck orientiert.

Abb. 2: Nur vier Puzzle-Teile


Die Abbildung 3 zeigt einen Fall mit ãhohenÒ Dreiecken.

Abb. 3: ãHoheÒ Dreiecke


Die Abbildung 4 zeigt ein noch hšheres Beispiel mit 15 Puzzle-Teilen. Das Vergleichsparallelogramm ist zweimal gezeichnet.

Abb. 4: Sehr hohe Dreiecke


2.2      Ein gemeinsamer Winkel

Wir gehen von zwei flŠchengleichen Dreiecken aus, welche zudem einen Winkel gemeinsam haben (Abb. 5).

Abb. 5: Gleicher FlŠcheninhalt und ein gemeinsamer Winkel

Wir bringen den gemeinsamen Winkel zur Deckung. Durch Einzeichnen der schwarzen Strecke erkennen wir, dass wir es bei den oberen Teilen der beiden Dreiecke mit der Situation gleicher Grundlinie und gleicher Hšhe zu tun haben (Abb. 6).

Abb. 6: Gemeinsame Grundlinie der oberen Teildreiecke


Dieses Problem haben wir bereits gelšst. Die Abbildung 7 zeigt nun einen Zerlegungsbeweis.

Abb. 7: Zerlegungsbeweis

3        Rechtecke

Wir gehen von zwei flŠchengleichen Rechtecken aus (Abb. 8).

Abb. 8: Zwei flŠchengleiche Rechtecke

3.1      Rationale SeitenverhŠltnisse

Bei rationalen SeitenverhŠltnissen, also , gibt es ein grš§tes gemeinsames Teilrechteck, das die beiden Rechtecke mit der gleichen endlichen Anzahl von Teilrechtecken ausschšpft (Abb. 9).

Abb. 9: Grš§tes gemeinsames Teilrechteck


NatŸrlich geht es dann auch mit weniger Puzzle-Teilen (Abb. 10).

Abb. 10: Weniger Teile

3.2      Irrationale SeitenverhŠltnisse

Bei  kšnnen wir nicht mit Rechtecken ausschšpfen.

3.2.1    Sonderfall

Wir untersuchen den Sonderfall der Abbildung 11.

Abb. 11: Sonderfall

Der Versuch, mit Rechtecken auszuschšpfen, fŸhrt zwar zu einer interessanten Figur (Abb. 12), die aber ins Unendliche lŠuft.

Abb. 12: Versuch einer Ausschšpfung

Die Puzzle-Teile treten mit Ausnahme des ersten paarweise auf und haben alle das SeitenverhŠltnis des DIN-Formates, passen aber nicht in eine DIN An Folge. Aufeinanderfolgende Teilrechtecke gehen nicht durch Halbieren oder Vierteln auseinander hervor.


Indessen lŠsst sich in unserem Sonderfall die FlŠchengleichheit mit einer Zerlegung in nur vier kongruente Puzzle Teile zeigen (Abb. 13).

Abb. 13: Zerlegungsbeweis

Und jetzt eine Hausaufgabe: Gesucht ist ein einfacher Zerlegungsbeweis fŸr die FlŠchengleichheit des Einheitsquadrates und des Rechteckes mit den Seiten  und  fŸr einzelne Werte von . Die Abbildung 13 ist ein Beispiel fŸr n = 2.

3.2.2    Allgemein

FŸr den allgemeinen Fall halbieren wir zunŠchst jedes der beiden Rechtecke. Wir haben dann zwei flŠchengleiche rechtwinklige Dreiecke. Bei flŠchengleichen Dreiecken mit einem gemeinsamen Winkel wurde die Zerlegungstechnik schon besprochen. Im Folgenden die einzelnen Schritte.

Wir beginnen zwei flŠchengleichen Rechtecken (Abb. 14).

Abb. 14: FlŠchengleiche Rechtecke

Wir halbieren beide Rechtecke lŠngs einer Diagonalen und konstruieren einen Zerlegungsbeweis (Abb. 15).

Abb. 15: Zerlegungsbeweis fŸr halbe Rechtecke


Durch Punktspiegelung ergibt sich der Zerlegungsbeweis (Abb. 16).

Abb. 16: Zerlegungsbeweis fŸr Rechtecke

4        Hinweise zur Hausaufgabe

Gesucht ist ein einfacher Zerlegungsbeweis fŸr die FlŠchengleichheit des Einheitsquadrates und des Rechteckes mit den Seiten  und  fŸr einzelne Werte von .

4.1      Quadratzahl

FŸr eine Quadratzahl  gibt es die einfache Schachbrettlšsung. Die Quadratseite und die lange Rechteckseite stehen in einem rationalen VerhŠltnis.

Die Abbildung 17 illustriert den Fall n = 9. Sie kann zu einer Streifenlšsung vereinfacht werden (Abb. 18).

Abb. 17: Schachbrett

Abb. 18: Streifen


4.2      Summe zweier Quadratzahlen

FŸr den Fall  gibt die Abbildung 13 eine einfache Lšsung. Die Abbildung 19 zeigt eine Lšsung fŸr . Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien im blauen Quadrat haben eine Steigung . Wir benštigen neun Puzzle-Teile, welche sich an einem schrŠgen Schachbrett orientieren.

Abb. 19: n = 5

Die Lšsung lŠsst sich zu einer Streifenlšsung mit vier Puzzle-Teilen vereinfachen (Abb. 20).

Abb. 20: Einfachere Lšsung fŸr n = 5

Die Abbildung 21 zeigt eine Lšsung fŸr . Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien im blauen Quadrat haben eine Steigung .

Abb. 21: n = 13

Auch diese Lšsung lŠsst sich zu einer Streifenlšsung vereinfachen (Abb. 22).

Abb. 22: Streifenlšsung

Allgemein arbeiten wir fŸr  mit Streifen, welche im Quadrat die Steigung  haben.

4.3      Differenz zweier Quadratzahlen

Die Abbildung 23 zeigt eine Lšsung fŸr . Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien haben einen Steigungswinkel von  . Die Lšsung orientiert sich am schrŠgen Schachbrettmuster. Beim †bergang vom Quadrat zum Rechteck mŸssen die Puzzle-Teile um Vielfache von 30¡ verdreht und zum Teil (FŸnfecke) sogar gespiegelt werden.

Abb. 23: n = 3

In der Lšsung der Abbildung 24 kšnnen alle Puzzle-Teile vom Quadrat zum Rechteck parallel verschoben werden. Diese Lšsung passt nicht so recht in das Ÿbliche Muster.

Abb. 24: n = 3

Die Abbildung 25 zeigt eine Lšsung fŸr . Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien haben einen Steigungswinkel von  . Die Lšsung orientiert sich am schrŠgen Schachbrettmuster.

Abb. 25: n = 7

Die Abbildung 26 zeigt eine Variante, die sich noch stŠrker an die schrŠge Quadratrasterung anlehnt.

Abb. 26: Rastervariante

Es scheint sich da ein allgemeines Muster abzuzeichnen. FŸr eine Zahl von der Form  mŸssen wir mit einem Steigungswinkel  arbeiten.

 Nun ist aber auch  eine Differenz von Quadratzahlen. Dies fŸhrt zur Lšsung der Abbildung 27, welche von der Lšsung der Abbildung 19 verschieden ist. Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien haben den Steigungswinkel .

Abb. 27: n = 5

Auch dieses Beispiel lŠsst sich verrastern (Abb. 28).

Abb. 28: Rastervariante

FŸr  ergibt sich eine Lšsung mit dem Steigungswinkel  (Abb. 29).

Abb. 29: n = 9

Es ist mir nicht gelungen, eine ãschšneÒ Lšsung fŸr n = 11 zu finden.

4.4      Der Trick mit dem Kathetensatz

Die Abbildung 30 zeigt eine Zerlegungssituation fŸr den Kathetensatz.

Abb. 30: Kathetensatz

Wir kšnnen nun die Situation rechts von der Hšhentrennlinie fŸr unser Problem ausnŸtzen. Dazu zeichnen wir in einem Quadratraster der Maschenweite  ein Hochformat-Rechteck der Breite   und der Hšhe  und ergŠnzen zur Kathetensatz-Figur. Das zugehšrige Kathetenquadrat hat dann die SeitenlŠnge 1. Damit haben wir eine Lšsung fŸr beliebiges n. Die Abbildung 31 illustriert das Vorgehen fŸr n = 7.

Abb. 31: Anwendung des Kathetensatzes


Die Abbildung 32 zeigt die aus der Abbildung 31 isolierte Lšsung fŸr n = 7. Es ist dabei noch geeignet gedreht und gespiegelt worden. Die Lšsung weicht ab von den symmetrischen Lšsungen der Abbildungen 25 und 26.

Die ansteigenden schrŠgen Linien haben die Steigung .

Abb. 32: n = 7

4.5      Der Trick mit dem Hšhensatz

Die Abbildung 33 zeigt eine Zerlegungssituation fŸr den Hšhensatz. Die ansteigenden SchrŠgen sind parallel zu einer Kathete.

Abb. 33: Hšhensatz

Wir kšnnen dies fŸr unser Problem ausnŸtzen. Dazu zeichnen wir in einem Quadratraster der Maschenweite  ein Querformat-Rechteck der Breite   und der Hšhe  und ergŠnzen zur Hšhensatz-Figur. Das zugehšrige Hšhenquadrat hat dann die SeitenlŠnge 1. Damit haben wir eine Lšsung fŸr beliebiges n. Die Abbildung 34 illustriert das Vorgehen fŸr n = 7.

Abb. 34: n = 7

Schlie§lich doch noch eine Lšsung fŸr n = 11 (Abb. 35).

Abb. 35: n = 11

Die Abbildung 36 zeigt dasselbe mit einem zerhackten Raster.

Abb. 36: Zerhackter Raster