Hans Walser, [20130516], [20130520], [20130525b]
Zerlegungsgleichheit
In der Ebene sind flŠchengleiche Polygone immer auch zerlegungsgleich.
Wie finden wir bei Dreiecken und Rechtecken eine gemeinsame Zerlegung?
Zwei Dreiecke mit gleicher Grundlinie und gleicher Hšhe sind flŠchengleich. Die Abbildung 1 zeigt das Vorgehen zur Auffindung der Zerlegungsgleichheit. Dabei werden 5 Puzzle-Teile verwendet. Wir arbeiten mit einem Vergleichsrechteck.
Abb. 1: Gleiche Grundlinie und Hšhe
Es geht auch mit nur vier Puzzle-Teilen (Abb. 2). Wir arbeiten mit einem Vergleichsparallelogramm, das sich am oberen Dreieck orientiert.
Abb. 2: Nur vier Puzzle-Teile
Die Abbildung 3 zeigt einen Fall mit ãhohenÒ Dreiecken.
Abb. 3: ãHoheÒ Dreiecke
Die Abbildung 4 zeigt ein noch hšheres Beispiel mit 15 Puzzle-Teilen. Das Vergleichsparallelogramm ist zweimal gezeichnet.
Abb. 4: Sehr hohe Dreiecke
Wir gehen von zwei flŠchengleichen Dreiecken aus, welche zudem einen Winkel gemeinsam haben (Abb. 5).
Abb. 5: Gleicher FlŠcheninhalt und ein gemeinsamer Winkel
Wir bringen den gemeinsamen Winkel zur Deckung. Durch Einzeichnen der schwarzen Strecke erkennen wir, dass wir es bei den oberen Teilen der beiden Dreiecke mit der Situation gleicher Grundlinie und gleicher Hšhe zu tun haben (Abb. 6).
Abb. 6: Gemeinsame Grundlinie der oberen Teildreiecke
Dieses Problem haben wir bereits gelšst. Die Abbildung 7 zeigt nun einen Zerlegungsbeweis.
Abb. 7: Zerlegungsbeweis
Wir gehen von zwei flŠchengleichen Rechtecken aus (Abb. 8).
Abb. 8: Zwei flŠchengleiche Rechtecke
Bei rationalen
SeitenverhŠltnissen, also , gibt es ein grš§tes gemeinsames Teilrechteck, das die
beiden Rechtecke mit der gleichen endlichen Anzahl von Teilrechtecken
ausschšpft (Abb. 9).
Abb. 9: Grš§tes gemeinsames Teilrechteck
NatŸrlich geht es dann auch mit weniger Puzzle-Teilen (Abb. 10).
Abb. 10: Weniger Teile
Bei kšnnen wir nicht mit
Rechtecken ausschšpfen.
Wir untersuchen den Sonderfall der Abbildung 11.
Abb. 11: Sonderfall
Der Versuch, mit Rechtecken auszuschšpfen, fŸhrt zwar zu einer interessanten Figur (Abb. 12), die aber ins Unendliche lŠuft.
Abb. 12: Versuch einer Ausschšpfung
Die Puzzle-Teile treten mit Ausnahme des ersten paarweise auf und haben alle das SeitenverhŠltnis des DIN-Formates, passen aber nicht in eine DIN An Folge. Aufeinanderfolgende Teilrechtecke gehen nicht durch Halbieren oder Vierteln auseinander hervor.
Indessen lŠsst sich in unserem Sonderfall die FlŠchengleichheit mit einer Zerlegung in nur vier kongruente Puzzle Teile zeigen (Abb. 13).
Abb. 13: Zerlegungsbeweis
Und jetzt eine Hausaufgabe:
Gesucht ist ein einfacher Zerlegungsbeweis fŸr die FlŠchengleichheit des
Einheitsquadrates und des Rechteckes mit den Seiten und
fŸr einzelne
Werte von
. Die Abbildung 13 ist ein Beispiel fŸr n = 2.
FŸr den allgemeinen Fall halbieren wir zunŠchst jedes der beiden Rechtecke. Wir haben dann zwei flŠchengleiche rechtwinklige Dreiecke. Bei flŠchengleichen Dreiecken mit einem gemeinsamen Winkel wurde die Zerlegungstechnik schon besprochen. Im Folgenden die einzelnen Schritte.
Wir beginnen zwei flŠchengleichen Rechtecken (Abb. 14).
Abb. 14: FlŠchengleiche Rechtecke
Wir halbieren beide Rechtecke lŠngs einer Diagonalen und konstruieren einen Zerlegungsbeweis (Abb. 15).
Abb. 15: Zerlegungsbeweis fŸr halbe Rechtecke
Durch Punktspiegelung ergibt sich der Zerlegungsbeweis (Abb. 16).
Abb. 16: Zerlegungsbeweis fŸr Rechtecke
Gesucht ist ein
einfacher Zerlegungsbeweis fŸr die FlŠchengleichheit des Einheitsquadrates und
des Rechteckes mit den Seiten und
fŸr einzelne
Werte von
.
FŸr eine Quadratzahl gibt es die
einfache Schachbrettlšsung. Die Quadratseite und die lange Rechteckseite stehen
in einem rationalen VerhŠltnis.
Die Abbildung 17 illustriert den Fall n = 9. Sie kann zu einer Streifenlšsung vereinfacht werden (Abb. 18).
Abb. 17: Schachbrett
Abb. 18: Streifen
FŸr den Fall gibt die
Abbildung 13 eine einfache Lšsung. Die Abbildung 19 zeigt eine Lšsung fŸr
. Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien im blauen Quadrat
haben eine Steigung
. Wir benštigen neun Puzzle-Teile, welche sich an einem
schrŠgen Schachbrett orientieren.
Abb. 19: n = 5
Die Lšsung lŠsst sich zu einer Streifenlšsung mit vier Puzzle-Teilen vereinfachen (Abb. 20).
Abb. 20: Einfachere Lšsung fŸr n = 5
Die Abbildung 21 zeigt
eine Lšsung fŸr . Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien im blauen Quadrat haben
eine Steigung
.
Abb. 21: n = 13
Auch diese Lšsung lŠsst sich zu einer Streifenlšsung vereinfachen (Abb. 22).
Abb. 22: Streifenlšsung
Allgemein arbeiten wir
fŸr mit Streifen,
welche im Quadrat die Steigung
haben.
Die Abbildung 23 zeigt eine
Lšsung fŸr . Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien haben einen Steigungswinkel
von
. Die Lšsung
orientiert sich am schrŠgen Schachbrettmuster. Beim †bergang vom Quadrat zum
Rechteck mŸssen die Puzzle-Teile um Vielfache von 30¡ verdreht und zum Teil (FŸnfecke)
sogar gespiegelt werden.
Abb. 23: n = 3
In der Lšsung der Abbildung 24 kšnnen alle Puzzle-Teile vom Quadrat zum Rechteck parallel verschoben werden. Diese Lšsung passt nicht so recht in das Ÿbliche Muster.
Abb. 24: n = 3
Die Abbildung 25 zeigt
eine Lšsung fŸr . Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien haben einen Steigungswinkel
von
. Die Lšsung
orientiert sich am schrŠgen Schachbrettmuster.
Abb. 25: n = 7
Die Abbildung 26 zeigt eine Variante, die sich noch stŠrker an die schrŠge Quadratrasterung anlehnt.
Abb. 26: Rastervariante
Es scheint sich da ein
allgemeines Muster abzuzeichnen. FŸr eine Zahl von der Form mŸssen wir mit einem
Steigungswinkel
arbeiten.
Nun ist aber auch eine Differenz
von Quadratzahlen. Dies fŸhrt zur Lšsung der Abbildung 27, welche von der
Lšsung der Abbildung 19 verschieden ist. Die ansteigenden schrŠgen Trennlinien
haben den Steigungswinkel
.
Abb. 27: n = 5
Auch dieses Beispiel lŠsst sich verrastern (Abb. 28).
Abb. 28: Rastervariante
FŸr ergibt sich eine
Lšsung mit dem Steigungswinkel
(Abb. 29).
Abb. 29: n = 9
Es ist mir nicht gelungen, eine ãschšneÒ Lšsung fŸr n = 11 zu finden.
Die Abbildung 30 zeigt eine Zerlegungssituation fŸr den Kathetensatz.
Abb. 30: Kathetensatz
Wir kšnnen nun die
Situation rechts von der Hšhentrennlinie fŸr unser Problem ausnŸtzen. Dazu
zeichnen wir in einem Quadratraster der Maschenweite ein
Hochformat-Rechteck der Breite
und der Hšhe
und ergŠnzen zur
Kathetensatz-Figur. Das zugehšrige Kathetenquadrat hat dann die SeitenlŠnge 1. Damit
haben wir eine Lšsung fŸr beliebiges n.
Die Abbildung 31 illustriert das Vorgehen fŸr n = 7.
Abb. 31: Anwendung des Kathetensatzes
Die Abbildung 32 zeigt die aus der Abbildung 31 isolierte Lšsung fŸr n = 7. Es ist dabei noch geeignet gedreht und gespiegelt worden. Die Lšsung weicht ab von den symmetrischen Lšsungen der Abbildungen 25 und 26.
Die ansteigenden
schrŠgen Linien haben die Steigung .
Abb. 32: n = 7
Die Abbildung 33 zeigt
eine Zerlegungssituation fŸr den Hšhensatz. Die ansteigenden SchrŠgen sind
parallel zu einer Kathete.
Abb. 33: Hšhensatz
Wir kšnnen dies fŸr
unser Problem ausnŸtzen. Dazu zeichnen wir in einem Quadratraster der
Maschenweite ein
Querformat-Rechteck der Breite
und der Hšhe
und ergŠnzen zur
Hšhensatz-Figur. Das zugehšrige Hšhenquadrat hat dann die SeitenlŠnge 1. Damit
haben wir eine Lšsung fŸr beliebiges n.
Die Abbildung 34 illustriert das Vorgehen fŸr n = 7.
Abb. 34: n = 7
Schlie§lich doch noch eine Lšsung fŸr n = 11 (Abb. 35).
Abb. 35: n = 11
Die Abbildung 36 zeigt dasselbe mit einem zerhackten Raster.
Abb. 36: Zerhackter Raster