Hans Walser, [20191012]
Zick-Zack im Winkel
Anregung: Fehlmann (2019)
Die Grundidee der Winkeldrittelung nach Archimedes oder Bolyai fźhrt zu einem Schlie§ungssatz in der Elementargeometrie.
In einem beliebigen Winkel tragen wir vom Scheitel ausgehend im Zick-Zack dieselbe StreckenlŠnge ab (Abb. 1).
Abb. 1: Zick-Zack im Winkelfeld
Wir erhalten dann der Reihe nach die Winkel . Der Beweis ergibt sich aus den in der Abbildung 1 eingetragenen gleichschenkligen Dreiecken. Die ErgŠnzung des Spitzenwinkels auf 180ˇ ist jeweils die Summe der beiden Basiswinkel.
Der Sachverhalt wird ausgenźtzt in den Winkeldrittelungsmethoden von Archimedes und von Bolyai ([1] Abb. 5). Das mechanische GerŠt ([1] Abb. 6) kann entsprechend verallgemeinert werden fźr die Winkelteilung in n Teile.
Wir nehmen nun an, dass wir beim Abtragen des Zick-Zackes nach einer ungeraden Anzahl Schritten zum Scheitel zurźckkommen (Abb. 2 fźr u = 7).
Abb. 2: Zurźck nach sieben Schritten
Im grźn markierten gleichschenkligen Dreieck der Abbildung 2 haben wir die Au§enwinkel . Somit haben wir die Au§enwinkelsumme . Da die Au§enwinkelsumme in einem einfach geschlossenen Polygon 360ˇ ausmacht (eine wunderschšne Invariante, die leider im LP21 nicht vorkommt), ergibt sich:
(1)
Dieser Winkel ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Hingegen kann der Winkel mit einem Gleitgelenkmodell konstruiert werden [2].
Allgemein ergibt sich fźr eine Schlie§ungsfigur mit u Schritten (Fehlmann 2019).
Literatur
Fehlmann, RenŽ (2019): Ein Zick-Zack-Streckenzug im gleichschenkligen Dreieck. VSMP Bulletin, September 2019, No 141, S. 10-13.
Walser, Hans (1988): Ein Schliessungssatz der Elementargeometrie. Elemente der Mathematik (43), 161-169.
Websites
[1] Hans Walser: Winkeldrittelung nach Archimedes und nach Bolyai
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkeldrittelung_Arc_Bol/Winkeldrittelung_Arc_Bol.htm
[2] Hans Walser: Gleitgelenkmodelle
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gleitgelenkmodelle/Gleitgelenkmodelle.htm