Hans Walser, [20260830]
Zwei Parabeln und ein Kreis
Thomas Jahre, Chemnitz, Aufgabe Serie 73 – 870
1 Worum es geht
Gemeinsame Schnittpunkte zweier Parabeln und eines Kreises
2 Konstruktion
In einem kartesischen Koordinatensystem zeichnen wir drei Punkte.
Exemplarisch: (1, 1), (–2, 4), (–3, 9) (Abb. 1).
Abb. 1: Drei Punkte
Mit diesen drei Punkten definieren wir drei verschiedene Kurven: eine stehende Parabel (rot in Abb. 2), eine liegende Parabel (grün in Abb. 3) und einen Kreis (blau in Abb. 4).
Die stehende Parabel ist die Standardparabel mit der Gleichung y = x2.
Abb. 2: Stehende Parabel
Die liegende Parabel hat die Gleichung 10x = y2 – 15y + 24.
Abb. 3: Liegende Parabel
Der Kreis hat den Mittelpunkt (5, 8) und den Radius √(65) ≈ 8.062.
Abb. 4: Kreis
3 Schnittpunkt
Die drei Kurven haben neben den drei definierenden Punkten einen vierten gemeinsamen Schnittpunkt (magenta in Abb. 5). In unserem Beispiel hat er die Koordinaten (4, 16).
Abb. 5: Schnittpunkt
4 Nachweis
Rechnerisch.
5 Weitere Beispiele
5.1 Stehende Parabel nach unten offen
Im Beispiel der Abbildung 6 ist die stehende Parabel nach unten offen.
Abb. 6: Stehende Parabel nach unten offen
5.2 Parabeln mit nur drei Schnittpunkten
Zwei verschiedene Parabeln haben maximal vier gemeinsame Punkte. Die Abbildung 7 zeigt ein Beispiel mit nur den drei definierenden Punkten als gemeinsame Schnittpunkte.
Abb. 7: Nur drei gemeinsame Punkte
5.3 Schräge Parabeln
Die beiden Parabeln können auch schräg liegen. Ihre Symmetrieachsen müssen aber orthogonal sein (Abb. 8).
Abb. 8: Schräge Parabeln mit orthogonalen Symmetrieachsen
Weblink
Thomas Jahre
https://www.schulmodell.eu/images/stories/mathe/wochenaufgabe/870.jpg
