Hans Walser, [20260301]

Zweierpotenzen

1 Worum es geht

Summenformel für Zweierpotenzen

Binärsystem

2 Tabelle

Die Tabelle 1 gibt die Zweierpotenzen und deren Summe.

n	2^n
0	1	1
1	2	3
2	4	7
3	8	15
4	16	31
5	32	63
6	64	127
7	128	255
8	256	511
9	512	1023
10	1024	2047

Tab. 1: Zweierpotenzen und deren Summe

3 Summenformel

Wir vermuten:

4 Beweise

4.1 Geometrische Folge und deren Summe

Anwendung der Formel für die Summe der Folgenglieder einer geometrischen Folge:

4.2 Binärsystem

Wir schreiben die Folgenglieder und deren Summe zusätzlich im Binärsystem (gelb in Tab. 2, Spalten 4 und 5).

n	2^n		2^n
0	1	1	1	1
1	2	3	10	11
2	4	7	100	111
3	8	15	1000	1111
4	16	31	10000	11111
5	32	63	100000	111111
6	64	127	1000000	1111111
7	128	255	10000000	11111111
8	256	511	100000000	111111111
9	512	1023	1000000000	1111111111
10	1024	2047	10000000000	11111111111

Tab. 2: Binärsystem

Die Gültigkeit der Formel ergibt sich aus dem „Binärsprung“. Wenn wir zu einem Eintrag in der Spalte 5 eine 1 addieren, erhalten wir den nächsthöheren Eintrag in der Spalte 4.

Weblinks

Hans Walser: Zweierpotenzen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zweierpotenzen/Zweierpotenzen.htm