1 Worum es geht

Zerlegung von gleichwinkligen Zwölfecken in gleichseitige Dreiecke und Quadrate gleicher Seitenlänge

Fibonacci-Zahlen

2 Klassisches Zwölfeck

Die Abbildung 1 zeigt eine Zerlegung des regelmäßigen Zwölfecks in gleichseitige zwölf Dreiecke und sechs Quadrate gleicher Seitenlänge.

Abb. 1: Zerlegung des regelmäßigen Zwölfecks

Die Zerlegung kann aufgeteilt werden in einen Kern und einen Ring (Abb. 2).

Abb. 2: Kern und Ring

3 Erweiterung

Wir erweitern das regelmäßige Zwölfeck um einen weiteren Ring (Abb. 3). Der Ring hat die Dicke 1.

Abb. 3: Erweiterung um einen Ring

Das entstehende Zwölfeck ist nicht mehr regelmäßig. Die Seiten haben im Wechsel die Längen 1 und 2. Hingegen ist das Zwölfeck gleichwinklig.

4 Erweiterungen

Wir erweitern nun mit einem Ring der Dicke 2 (Abb. 4). Die kleinen Quadrate im Erweiterungsring fügen sich zu einem größeren Quadrat zusammen.

Abb. 4: Erweiterung mit einem Ring der Dicke 2

Die nächste Erweiterung hat die Dicke 3 (Abb. 5).

Abb. 5: Erweiterung mit einem Ring der Dicke 3

Die nächste Erweiterung hat die Dicke 5 (Abb. 6).

Abb. 6: Erweiterung mit einem Ring der Dicke 5

Die nächste Erweiterung hat die Dicke 8 (Abb. 7).

Abb. 7: Erweiterung mit einem Ring der Dicke 8

5 Fibonacci-Zahlen

In jedem Erweiterungsschritt setzen sich die kleinen Quadrate schachbrettartig zu einem größeren Quadrat zusammen. Für die Dicken der Erweiterungsringe ergeben sich:

1, 1, 2, 3, 5, 8

Dies ist der Anfang der Fibonacci-Reihe.

Zwischen den schachbrettartigen Quadraten liegen gleichschenklige Trapeze. Deren Seitenlängen sind drei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Folge (Abb. 8).

Begründung: Die ersten beiden Erweiterungsschritte haben die Dicke 1.

Aus den gleichschenkligen Trapezen lesen wir die Fibonacci-Rekursion ab (Abb. 8).

Abb. 8: Fibonacci-Rekursion