Hans Walser, [20180723]

Zwšlfeck und Quadrat

1     Worum geht es?

Ein Problem zur Zerlegungsgleichheit.

Weitere Beispiele zu dieser Thematik siehe [1], [2], [3], [4].

2     Basisfigur

Mit sechs regelmŠ§igen Dreiecken zeichnen wir ein Sechseck (Abb. 1a). Dieses Ÿberlagern wir mit einer um 30¡ verdrehten Kopie (Abb. 1b).

Abb. 1: Dreiecke als Basisfigur

3     Zwšlfeck und Quadrat

Die konvexe HŸlle der Figur der Abbildung 1b ist ein regelmŠ§iges Zwšlfeck (Abb. 2a). Weiter kšnnen wir in die Figur ein Quadrat einpassen (Abb. 2b).

Abb. 2: Zwšlfeck und Quadrat

Sind das Zwšlfeck und das Quadrat flŠchengleich?

4     FlŠchenberechnungen

FŸr die FlŠchenberechnungen setzen wir die SeitenlŠnge der regelmŠ§igen Dreiecke 1.

Das Zwšlfeck besteht aus zwšlf gleichschenkligen Dreiecken der SchenkellŠnge 1 und dem Spitzenwinkel 30¡. Daraus ergibt sich der FlŠcheninhalt A12-Eck:

 

                                                                                   (1)

 

 

 

Das Quadrat hat die SeitenlŠnge  und damit ebenfalls den FlŠcheninhalt 3.

Die beiden Figuren sind also flŠchengleich.

5     Zerlegungsgleichheit

Nach einem Satz von Hilbert sind flŠchengleiche Polygone in der Ebene auch zerlegungsgleich.

Die Abbildung 3 zeigt eine gemeinsame Zerlegung.

Abb. 3: Gemeinsame Zerlegung

Die Abbildung 4 gibt eine Zwischenfigur. Wir erkennen in der Zwischenfigur einerseits die gleichschenkligen Dreiecke, aus denen das Zwšlfeck zusammengesetzt ist, andererseits ist auch angegeben, wie wir von dieser Zwischenfigur auf das Quadrat kommen.

Abb. 4: Zwischenfigur

Gibt es eine elegantere Lšsung?

 

Websites

[1] Hans Walser: Zwšlfeck (abgerufen 20.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck/Zwoelfeck.htm

 

[2] Hans Walser: Zwšlfeck 2 (abgerufen 20.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck2/Zwoelfeck2.htm

 

[3] Hans Walser: ZwšlfecksflŠche (abgerufen 20.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfecksflaeche/Zwoelfecksflaeche.htm

 

[4] Hans Walser: Zwšlfeck und Rechteck (abgerufen 20.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck_u_Rechteck/Zwoelfeck_u_Rechteck.htm