Hans Walser, [20180720]

Zwšlfeck und Rechteck

1     Worum geht es?

Ein Problem zur Zerlegungsgleichheit.

Weitere Beispiele zu dieser Thematik siehe [1], [2], [3].

2     Problemstellung

In ein regulŠres Dreiecksraster (Abb. 1) zeichnen wir ein regulŠres Zwšlfeck und ein Rechteck.

Abb. 1: Zwšlfeck und Rechteck

Sind die beiden Figuren flŠchengleich?

3     FlŠchenberechnungen

FŸr die FlŠchenberechnungen setzen wir die SeitenlŠnge der gleichseitigen Dreiecke 1.

Das Zwšlfeck besteht aus zwšlf gleichschenkligen Dreiecken der SchenkellŠnge 1 und dem Spitzenwinkel 30¡. Daraus ergibt sich der FlŠcheninhalt A12-Eck:

 

                                                                                   (1)

 

 

 

Das Rechteck hat die DiagonalenlŠngen  und den Diagonalenschnittwinkel 30¡. Daraus ergibt sich der FlŠcheninhalt ARechteck:

 

                                                                     (2)

 

 

Die beiden Figuren sind also flŠchengleich.

4     Zerlegungsgleichheit

Nach einem Satz von Hilbert sind flŠchengleiche Polygone in der Ebene auch zerlegungsgleich.

Die Abbildung 2 zeigt eine gemeinsame Zerlegung.

Abb. 2: Gemeinsame Zerlegung

Die Abbildung 3 zeigt ein Zwischenbild. Wir erkennen einerseits die gleichschenkligen Dreiecke des Zwšlfecks und andererseits die Zerlegungsbahnen zum Rechteck.

Abb. 3: Zwischenbild

Gibt es eine elegantere Lšsung?

 

Websites

[1] Hans Walser: Zwšlfeck (abgerufen 20.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck/Zwoelfeck.htm

 

[2] Hans Walser: Zwšlfeck 2 (abgerufen 20.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck2/Zwoelfeck2.htm

 

[3] Hans Walser: ZwšlfecksflŠche (abgerufen 20.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfecksflaeche/Zwoelfecksflaeche.htm