Hans Walser, [20180720]
Zwšlfeck und Rechteck
Ein Problem zur Zerlegungsgleichheit.
Weitere Beispiele zu dieser Thematik siehe [1], [2], [3].
In ein regulŠres Dreiecksraster (Abb. 1) zeichnen wir ein regulŠres Zwšlfeck und ein Rechteck.
Abb. 1: Zwšlfeck und Rechteck
Sind die beiden Figuren flŠchengleich?
FŸr die FlŠchenberechnungen setzen wir die SeitenlŠnge der gleichseitigen Dreiecke 1.
Das Zwšlfeck besteht aus zwšlf gleichschenkligen Dreiecken der SchenkellŠnge 1 und dem Spitzenwinkel 30¡. Daraus ergibt sich der FlŠcheninhalt A12-Eck:
(1)
Das Rechteck hat die DiagonalenlŠngen und den Diagonalenschnittwinkel 30¡. Daraus ergibt sich der FlŠcheninhalt ARechteck:
(2)
Die beiden Figuren sind also flŠchengleich.
Nach einem Satz von Hilbert sind flŠchengleiche Polygone in der Ebene auch zerlegungsgleich.
Die Abbildung 2 zeigt eine gemeinsame Zerlegung.
Abb. 2: Gemeinsame Zerlegung
Die Abbildung 3 zeigt ein Zwischenbild. Wir erkennen einerseits die gleichschenkligen Dreiecke des Zwšlfecks und andererseits die Zerlegungsbahnen zum Rechteck.
Abb. 3: Zwischenbild
Gibt es eine elegantere Lšsung?
Websites
[1] Hans Walser: Zwšlfeck (abgerufen 20.07.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck/Zwoelfeck.htm
[2] Hans Walser: Zwšlfeck 2 (abgerufen 20.07.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck2/Zwoelfeck2.htm
[3] Hans Walser: ZwšlfecksflŠche (abgerufen 20.07.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfecksflaeche/Zwoelfecksflaeche.htm