Hans Walser

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Last modified: November 29, 2018

Articles

A133   2018    Hans Walser: Semi-regular figures between beauty and regularity. In: MATHEMATICS AS A BRIDGE BETWEEN THE DISCIPLINES PROCEEDINGS OF MACAS – 2017 SYMPOSIUM HELD AT DANISH SCHOOL OF EDUCATION, AARHUS UNIVERSITY, COPENHAGEN 27-29 JUNI, 2017. EDITED BY Claus Michelsen, Astrid Beckmann, Viktor Freiman, and Uffe Thomas Jankvist. © 2018 LSUL, University of Southern Denmark. ISBN 978-87-92321-27-5. 29-38.

A132   2018    Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung. In Fachgruppe Didaktik der Mathematik der UniversitŠt Paderborn (Hrsg.) BeitrŠge zum Mathematikunterricht 2018 (S. 1907 - 1910). MŸnster: WTM-Verlag.

A131   2018    Hans Walser: Entdeckungen an einem halbregulŠren FŸnfeck. In Fachgruppe Didaktik der Mathematik der UniversitŠt Paderborn (Hrsg.) BeitrŠge zum Mathematikunterricht 2018 (S. 1903 - 1906). MŸnster: WTM-Verlag.

A130   2018    Hans Walser: Magische Symmetrie. MI, Mathematikinformation Nr. 69, 15. September 2018. ISSN 1612-9156. 25-33.
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Bei der Analyse magischer Quadrate ungerader SeitenlŠnge treten verschiedene Symmetrien auf. Umgekehrt ist fŸr die Konstruktion magischer Quadrate ein symmetrisches modulo-Rechnen problemadŠquat. Ebenso brauchen wir ein angepasstes symmetrisches Positionssystem.

A129   2018    Hans Walser: Bandornamente als Scherenschnitte. Mathematik. Unterricht. Aufgaben. Materialien. 5 bis 10. Papierkram. Verstehen mit und durch Papier. Materialpaket. 44. Bestell-Nr. 14644. 3. Quartal I 2018. 7.

Arbeitsmaterial zu A128.

A128   2018    Hans Walser: Bandornamente aus Papier. Verschiedene Symmetrien durch Scherenschnitte herstellen. Mathematik. Unterricht. Aufgaben. Materialien. 5 bis 10. Papierkram. Verstehen mit und durch Papier. Materialien. 44. Bestell-Nr. 13844. 3. Quartal I 2018. 14-17.

Bandornamente sind ein Paradebeispiel fŸr Symmetrien und laden ein zu eigenen Entdeckungen im Unterricht.

A127   2018    Hans Walser: Klassifikation der Symmetriegruppen der FlŠchenornamente als Werkzeug. In: Andreas Filler, Anselm Lambert (Hrsg.), Geometrie mit Tiefe. VortrŠge auf der 34. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft fŸr Didaktik der Mathematik vom 8. bis 10. September 2017. Hildesheim: Franzbecker 2018. 75-90. ISBN 978-3-88120-612-9.

Die Klassifikation der Symmetriegruppen der FlŠchenornamente wird als Hilfsmittel fŸr den Beweis eines Theorems aus der Elementargeometrie verwendet. Die Idee dabei ist, ein lokales PhŠnomen in eine †bersichtsdarstellung einzubinden und von daher zu verstehen.

A126   2018    Hans Walser: Die Acht in der Kugel. MU, Der Mathematikunterricht. Jahrgang 64. Heft 4-2018. S. 50-55.

In einem SchrŠgbild der Erdkugel entdecken wir merkwŸrdige Eigenschaften der Meridiane und Breitenkreise. Insbesondere finden wir auch die Lemniskate von Bernoulli.

A125   2018    Hans Walser: SchrŠgkanten-Modelle. IBDG, InformationsblŠtter der Geometrie, Fachverband Geometrie. Heft 1/2018, Jahrgang 37, S. 26-31.

Aus einem einzigen Streifen kšnnen wir mit geeigneten Faltlinien Modelle bauen, deren Ecken auf Ecken der platonischen Kšrper liegen. Die Modelle halten in der Regel ohne Bindemittel und sind leicht wieder zerlegbar. Die Methode erlaubt auch eine Faltkonstruktion des regelmŠ§igen Siebenecks.

A124   2018    Hans Walser: ZahnrŠder im Zeigerwerk. ml mathematik lehren 208 | 2018. S. 46-47.

ZahnrŠder sind fŸr die passende Altersstufe (4. – 8. Klasse) geeignet, Fragen zu VerhŠltnissen ganzer Zahlen, also Fragen rationaler Zahlen, implizit anzugehen. Am Beispiel einer mechanischen Zeigeruhr wird die IrrationalitŠt der Quadratwurzel aus 12 aufgezeigt.

A123   2018    Hans Walser: DIN A4 und US Letter. ml mathematik lehren 208 | 2018. S. 34-35.

Die beiden gŠngigen Papierformate DIN A4 und US Letter unterscheiden sich nicht nur (geringfŸgig) in den Ausma§en, sondern auch und vor allem im zugrundeliegenden geometrisch-mathematischen Konzept. Das US Letter Format hat ein rationales SeitenverhŠltnis, das DIN A4 Format hingegen ist fŸr SchŸlerinnen und SchŸler was wohl erste Beispiel eines irrationalen VerhŠltnisses. Dies kann mit verschiedenen Falt-Prozessen aufgezeigt werden.

A122   2018    Hans Walser: HalbregelmŠ§iges FŸnfeck. MU, Der Mathematikunterricht. Jahrgang 64. Heft 2-2018. S. 38-46.

Wir arbeiten mit einer einzigen Figur, einer halbregelmŠ§igen Modifikation des regelmŠ§igen FŸnfeckes.

A121   2018    Hans Walser: Falsche Perspektive. MNU Journal – Ausgabe 2.2018. S. 87-89.

Es werden zwei Testverfahren zur Erkennung von falschen Zentralperspektiven besprochen.

A120   2017    Hans Walser: Der Teufel sitzt im Detail. IBDG InformationsblŠtter der Geometrie. Heft 2/2017. Jahrgang 36. S. 15-16.      

Diskussion von Beweisen zum Satz von Pythagoras.

A119   2017    Hans Walser: WŸrfel auf Ecke. mathematik lehren 205 | 2017, 46-47.

Kann ein WŸrfel auf einer Ecke stehen? Oder anders gefragt: Ist das Foto echt?

A118   2017    Hans Walser: Viererpuzzle. Aufgabenstellung: AZ/AN Magazin, Nummer 255, 4. Nov. 2017, letzte Seite. Lšsung: AZ/AN Magazin, Nummer 261, 11. Nov. 2017, letzte Seite.

A117   2017    Hans Walser: Rechtwinklige Dreiecke ... . Ideenkiste. mathematik lehren 204 | 2017, 51.

A116   2017    Hans Walser: Dreiecksunterteilung und Binomialverteilung – In: Fachnewsletter mathematik lehren vom 18.9.2017

A115   2017    Hans Walser: Das erste Wachstumsmodell. In: FŸglister, Kurt M. / Hicklin, Martin / MŠser, Pascal (Hg.): natura obscura. 200 Naturforschende — 200 NaturphŠnomene — 200 Jahre Naturforschende Gesellschaft in Basel. Basel: Schwabe 2017. ISBN 978-3-7965-3686-1. S. 210.

A114   2017    Heinz Klaus Strick und Hans Walser: Parabeln, Primzahlen und GeradenfŠcher. mathematik lehren 201 | 2017, 42-44.

A113   2017    Hans Walser: Reuleaux-Zweiecke. In: Andreas Filler, Anselm Lambert (Hrsg.), Von PhŠnomenen zu Begriffen und Strukturen. Konkrete Lernsituationen fŸr den Geometrieunterricht. VortrŠge auf der 32. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft fŸr Didaktik der Mathematik vom 11. bis 13. September 2015 und auf der 33. Herbsttagung vom 09. bis 11. September 2016 in SaarbrŸcken. Hildesheim: Franzbecker 2017. 165-176. ISBN 978-3-88120-610-5.

Analog zum Reuleaux-Dreieck, das sich in verschiedenen Positionen ins immer gleiche Quadrat einpassen lŠsst, gibt es Reuleaux-Zweiecke, die sich in ein gleichseitiges Dreieck einpassen lassen. Es werden zwei Beispiele vorgestellt sowie verschiedene Beweistechniken diskutiert: Rechnung, Einbinden in einen Ÿbergeordneten Zusammenhang, Kinematik. Ein wichtiger Aspekt ist die Beschreibung von Kurven in verschiedenen zueinander bewegten Referenzsystemen. Schlie§lich wird eine Verallgemeinerung auf Reuleaux-Vierecke besprochen.

A112   2017    Hans Walser: Ein namenloses PhŠnomen. In: Andreas Filler, Anselm Lambert (Hrsg.), Von PhŠnomenen zu Begriffen und Strukturen. Konkrete Lernsituationen fŸr den Geometrieunterricht. VortrŠge auf der 32. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft fŸr Didaktik der Mathematik vom 11. bis 13. September 2015 und auf der 33. Herbsttagung vom 09. bis 11. September 2016 in SaarbrŸcken. Hildesheim: Franzbecker 2017. 87-100. ISBN 978-3-88120-610-5.

Ein Faltspiel und ein Spiel mit rechten Winkelhaken fŸhren beide zu einem symmetrischen PhŠnomen, welches im Lehrplan nicht kodifiziert ist. Der (asymmetrische) Strahlensatz erweist sich als Grenzfall. Die †berlegungen wurden angeregt durch einen didaktischen Fehler in einem Arbeitsblatt fŸr das achte Schuljahr.

A111   2017    Renato Pandi und Hans Walser: Reuleaux-Zweiecke. MNU Journal. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 70/4, 255-258. ISSN 0025-5866.

Analog zum Reuleaux-Dreieck, das sich in verschiedenen Positionen ins immer gleiche Quadrat einpassen lŠsst, gibt es zwei Reuleaux-Zweiecke, die sich in jeder Lage in ein gleichseitiges Dreieck einpassen lassen. Der Reiz der Thematik liegt in der kinematischen Geometrie, also der Geometrie relativ zueinander bewegter Figuren. Dies lŠsst sich mit realen Modellen sowie mit Modellierungen in DGS zeigen.

A110   2017    Hans Walser: Wie viele Teiler hat die Zahl? ml mathematik lehren 200 | 2017, 50-51.

Vorgestellt wird eine einfache AktivitŠt, mit der sich die Anzahl der Teiler von natŸrlichen Zahlen durch ein schrittweises Verschieben von Knšpfen in einer Tabelle bestimmen lassen. Die immer gleiche und monotone Formulierung der Schritte zeigt, dass ein Algorithmus abgearbeitet wird. Die SchŸlerinnen und SchŸler kšnnen bei der Auswertung mehrere interessante Feststellungen machen. So kennzeichnen etwa Knšpfe in der Reihe drei die Quadrate der Primzahlen.

A109   2016    Hans Walser: Spielereien im DIN-Format. MU, Der Mathematikunterricht. Jahrgang 62. Heft 5-2016. S. 3-13.

Das DIN A4-Papier ist Basis verschiedener mathematischer und insbesondere geometrischer AktivitŠten: Falten, Zerlegen, Abschneiden und HinzufŸgen, Anordnen, Vergleichen und gelegentlich Rechnen. Wir kommen propŠdeutisch zu Spiralen und Grenzprozessen und studieren Symmetrien in der Ebene und im Raum. Es gibt Analogien zu anderen Figuren mit der DIN-Zerlegungseigenschaft, und wir kšnnen in hšhere Dimensionen verallgemeinern. Wird von einem DIN A4-Papier ein Quadrat als Origami-Papier abgeschnitten, bleibt als ãAbfallÒ das so genannte Silberne Rechteck Ÿbrig, das eng mit dem regelmŠ§igen Achteck verknŸpft ist.

A108   2016    Renato Pandi und Hans Walser: Kreisfiguren im Rhombus. MI, Mathematikinformation Nr. 65. S. 5-13.

Im Rhombus finden wir durch Einzeichnen von Kreisbogen-Zweiecken neue ZusammenhŠnge. Wir treffen auf gleichseitige Dreiecke, Winkelbeziehungen, Invarianten, Delta-Kurven, Schnittpunkte und kinematische Prozesse. Ebenso finden wir ZusammenhŠnge zu Architektur, Grafik und SŸ§igkeiten.

A107   2016    Hans Walser: Sehnenvieleck. VSMP Bulletin, September 2016, No 132, S. 29-31.

Konstruktionen mit MINT und Papier fŸr das Sehnenvieleck.

A106   2016    Hans Walser: Winkeleisen. MNU Journal. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, 69/3, 158-160. ISSN 0025-5866.

Die Ÿbliche Strahlensatzfigur ist begrifflich asymmetrisch. Wir haben einerseits eine Schar von parallelen Geraden und andererseits eine Schar von kopunktalen Geraden. Mit rechten Winkeln kšnnen wir aber eine begrifflich symmetrische Figur mit gleichen TeilverhŠltnissen konstruieren. Die Strahlensatzfigur ergibt sich daraus als Sonderfall mit einem GrenzŸbergang.

A105   2016    Hans Walser: Puzzles and Dissections. In Astrid Beckmann, Viktor Freiman, Claus Michelsen: Proceedings of MACAS–2015. Hildesheim: Franzbecker. ISBN 978-3-88120-760-7. p 124-132.

A104   2016    Hans Walser: Alternative Konstruktionen im Dreieck. Die Wurzel. Zeitschrift fŸr Mathematik. MŠrz/April 2016. S. 79-81.

A103   2016    Hans Walser: Vom Strahlensatz zum Strahlensatz – Motive und PhŠnomeine. In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), BeitrŠge zum Mathematikunterricht 2015. MŸnster: WTM-Verlag, S. 976-979.

A102   2016    Hans Walser: Siebenbannstein. In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), BeitrŠge zum Mathematikunterricht 2015. MŸnster: WTM-Verlag, S. 972-975.

A101   2016    Hans Walser: Das DIN-Format. Workshop. In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), BeitrŠge zum Mathematikunterricht 2015. MŸnster: WTM-Verlag, S. 968-971.

A100   2016    Jean Pedersen und Hans Walser: Pascal, Fibonacci and geometry. Elem. Math. 71 (2016), 1-6.

A99     2015    Hans Walser: Vielecke aus Streifen. Der Falter // Magazin. Origami Deutschland e. V., 64, Oktober 2015, 9-12


A98     2015    Hans Walser: DIN-Format und Raum. In: Andreas Filler, Anselm Lambert (Hrsg.): Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Raumgeometrie. VortrŠge auf der 31. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft fŸr Didaktik der Mathematik vom 12. Bis 14. September 2014 in SaarbrŸcken. Hildesheim: Franzbecker. S. 105-119.

Ausgehend von didaktischen und erkenntnistheoretischen Problemen der Raumgeometrie werden zunŠchst einige Modelle von Polyedern vorgestellt, welche aus Papier oder Karton im DIN-Format hergestellt werden kšnnen. Anschlie§end wird die Grundidee des DIN-Formates auf andere Figuren Ÿbertragen, wobei wiederum der Raum eine wichtige Rolle spielt.

A97     2015    Hans Walser: Dreieck und Quader. Monoid 122. S. 4-5.

In einem Dreieck ABC zeichnen wir den Umkreismittelpunkt U. Dann ergŠnzen wir die drei Verbindungsstrecken vom Umkreismittelpunkt U zu den Ecken A, B, C zum Bild eines Quaders. Die dem Punkt U gegenŸberliegende Ecke des Quaderbildes bezeichnen wir mit V. Welche Bedeutung hat der Punkt V fŸr das Dreieck ABC?

A96     2015    Emese Vargyas und Hans Walser: Verallgemeinerung des Satzes von Viviani. MI, Mathematikinformation Nr. 63, 15. September 2015. ISSN 1612-9156. S. 3-10.

Der Satz von Viviani besagt, dass in einem gleichseitigen Dreieck die Summe der AbstŠnde von einem beliebigen Punkt im Innern des Dreieckes unabhŠngig von der Lage des Punktes ist. Wir haben also eine Invariante. Der Invariantenbegriff ist in der Mathematik zentral, viele SŠtze der Mathematik lassen sich mit Hilfe von Invarianten formulieren und verstehen. FŸr die Beweise kommen verschiedene Lšsungswege zur Sprache, die je einen eigenen Aspekt der Mathematik beleuchten. Der Satz von Viviani kann in verschiedener Hinsicht verallgemeinert werden.

A95     2015    Hans Walser: Vieleck-Knoten. MNU. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 68/4 (15. 7. 2015), S. 224-227. ISSN 0025-5866.

Die Konstruktion des regelmŠ§igen FŸnfeckes als Papierstreifen-Knoten wird zunŠchst auf das regelmŠ§ige Siebeneck und weiter auf beliebige regelmŠ§ige Vielecke verallgemeinert. Dabei treffen wir auf ein gerade-ungerade-ParitŠtsproblem, auf topologische Fragen und Teilbarkeitsprobleme.

A94     2015    Hans Walser: Ma§stab 1:1 – Geometrie fŸr Geomatiker (2015). In: Ludwig, Mathias und Filler, Andreas und Lambert, Anselm: Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. JubilŠumsband des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft fŸr Didaktik der Mathematik. S. 193-211. Springer Spektrum. Wiesbaden, Springer Fachmedien. ISBN 978-3-658-06834-9.

Es werden exemplarisch geometrische Beispiele aus der Ausbildung Studierender in Geomatik, Kartografie, Vermessungswesen und Geografie vorgestellt. Viele Beispiele mit rŠumlichen und sphŠrischen †berlegungen sind fŸr Schulunterricht und Begabtenfšrderung geeignet.

A93     2014    Hans Walser: FlŠchenschwerpunkte. MNU. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 67/8 (1.12.2014), S. 466-467. ISSN 0025-5866.

Die Konstruktion der FlŠchenschwerpunkte von Viereck, FŸnfeck und Sechseck fŸhrt auf Ÿberraschende Figuren.

A92     2014    Hans Walser: Hšhenschnittpunkt ohne Hšhen. Die Wurzel. Zeitschrift fŸr Mathematik. (48). 11/ 2014 . S. 247-249.

Der Hšhenschnittpunkt eines Dreiecks kann ohne die Hšhen konstruiert werden. Es werden verschiedene Konstruktionen angegeben. In allen Konstruktionen spielt der Umkreismittelpunkt eine SchlŸsselrolle.

A91     2014    Hans Walser: Faltgeometrie im DIN-Format. Jenaer Schriften zur Mathematik und Informatik. Herausgegeben von Michael Schmitz. Friedrich Schiller UniversitŠt Jena. 06/2014. S. 10-22.

Das DIN-Format ist mehr als ein StŸck Papier und die Quadratwurzel aus Zwei. Wir treffen auf Spiralen, Grenzpunkte, die gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung, das Silberne Rechteck, Faltprobleme und Legespiele nach Fršbel. Explizit werden Faltaufgaben besprochen, die nur mit einem Papierblatt in einem DIN-Format mšglich sind. Insbesondere kommen das regelmŠ§ige Achteck sowie Kantenmodelle von WŸrfel und Tetraeder zur Sprache.

A90     2014    Johanna Heitzer und Hans Walser: Ideenkiste. Mathematiklehren 185 / 2014. S. 50-51.

A89     2014    Hans Walser: MatheWelt. Das SchŸlerarbeitsheft. Baustelle Viereck. S. 1-16. Beilage zu Mathematiklehren 185 / 2014.

A88     2014    Johanna Heitzer und Hans Walser: Der rechte Winkel. Mathematiklehren 185 / 2014. S. 2-9.

A87     2014    Hans Walser: Eins zu Eins – Kurzfassung eines Vortrages im Arbeitskreis Geometrie. GDM-Mittteilungen 97 . 2014. S. 22-27.

A86     2014    Hans Walser: Rot = Blau. Aufgabe. MNU. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 67/5 (15. 7. 2014), S. 317. ISSN 0025-5866.

A85                 2014    Hans Walser: Ein Vexierbild. MNU. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 67/1 (15. 1. 2014), S. 29-30. ISSN 0025-5866.

Die Geometrie einer schematischen Darstellung regt zum Nachdenken an und fšrdert das rŠumliche Vorstellungsvermšgen.

A84     2013    Manfred Pietsch und Hans Walser: Dritteln durch Halbieren. Mathewelt. Das SchŸlerheft. Beilage zu: Die faszinierende Welt der Grenzwerte. Mathematik Lehren. 180 / Oktober 2013. PŠdagogische Zeitschriften bei Friedrich in Velber in Zusammenarbeit mit Klett.

A83     2013    Hans Walser: Vergessene Vierecke. In: Filler, Andreas / Ludwig, Mathias (Hrsg.): Wege zur Begriffsbildung fŸr den Geometrieunterricht. Ziele und Visionen 2020. VortrŠge auf der 29. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft fŸr Didaktik der Mathematik vom 14. bis 16. September 2012 in SaarbrŸcken. Hildesheim : Franzbecker 2013. ISBN: 978-3-88120-589-4. S. 153-166.

Es werden drei Vierecke vorgestellt, die im Ÿblichen Begriffskanon wie etwa dem Haus der Vierecke fehlen. Sie haben nicht einmal einen Namen. Eines der drei Vierecke hat Beziehungen zu Pythagoras (Quadratsummen), BriefumschlŠgen, Faltgeometrie und Wegoptimierung im Viereck. Eingebettet in die exemplarischen Darstellungen werden allgemeine Gedanken zur Begriffsbildung diskutiert.

 

A82     2013    Angel Plaza und Hans R. Walser: Proof Without Words: Fibonacci Triangles and Trapezoids. Mathematics Magazine. 86 (2013) p. 55.

Proof of the identity:  (Fibonacci-Numbers)

 

A81     2013    Hans Walser: Die bunte Binomialverteilung. MNU. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 66/1 (15. 1. 2013), S. 16-18. ISSN 0025-5866.

Die Histogramme der Binomialverteilung  kšnnen farbig gestaltet werden, so dass jede  einzelne Auswahlmšglichkeit von k Elementen aus n gegebenen Elementen direkt sichtbar wird. Die Figuren haben interessante Symmetrien und einen Šsthetischen Reiz.

A80     2013    Jo Niemeyer und Hans Walser: Papierfalten, Seilspannen, Goldener Schnitt und Hundekurve. MI, Mathematikinformation Nr. 58, 15. Januar 2013. ISSN 1612-9156. S. 3-8.

Ausgehend von einem Legespiel mit durch Falten halbierten BlŠttern oder aber durch wiederholten Einsatz des von den €gyptern her bekannten Knotenseils kommen wir zum Goldenen Schnitt. Eine Variation des Verfahrens fŸhrt im Grenzfall zur Traktrix.

A79     2012    Dieter Gštzl und Hans Walser: Abstandssummen am regelmŠ§igen n-Eck. MNU. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 65/8 (1. 12. 2012), S. 465-467. ISSN 0025-5866.

FŸr einen Punkt auf dem Umkreis eines regelmŠ§igen n-Ecks wird die Summe der AbstŠnde von den Eckpunkten des n-Ecks untersucht - mit durchaus erstaunlichen Ergebnissen.

A78     2012    Hans Walser: FrŸh krŸmmt sich, was ein HŠkchen werden will. In: Filler, Andreas / Ludwig, Mathias (Hrsg): Vernetzungen und Anwendungen im Geometrie-Unterricht. Ziele und Visionen 2020. VortrŠge auf der 28. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft fŸr Didaktik der Mathematik vom 09. Bis 11. September 2011 in Marktbreit. Hildesheim : Franzbecker 2012. ISBN: 978-3-88120-588-7. S. 95-108.

Der KrŸmmungsbegriff wird von verschiedener Seite her angegangen. Vernetzung mit Schokoladekugeln, didaktischen Grundfragen, Modellierungsproblemen in Unterricht und Praxis, Topologie, Verkehrs-Trassen sowie einem Unesco Welterbe.

A77     2012    Hans Walser: Schwerpunkt. Mathematikinformation Nr. 57. 15. September 2012. S. 14-22. ISSN 1612-9156. Mathematikinformation ist eine Zeitschrift von Begabtenfšrderung Mathematik e. V.

Beim Schwerpunkt treffen Geometrie und Physik aufeinander. Dies eršffnet interessante Einsichten und Querverbindungen. Es kommen Beispiele am Dreieck und Viereck zur Sprache. Insbesondere wird auf die Unterschiede von Eckenschwerpunkt, Kantenschwerpunkt und FlŠchenschwerpunkt eingegangen. Schlie§lich wird eine bemerkenswerte Gerade im Viereck vorgestellt. — QuerbezŸge zwischen Bereichen der Elementargeometrie, der Mechanik und der Topologie.

A76     2012    Hans Walser: Fibonacci-Trapeze. In: Die Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt. MU Der Mathematik-Unterricht (58), Heft 1, Februar 2012, S. 19-23.

Einem regulŠren Sechseck werden iterativ Quadrate und gleichschenklige Trapeze aufgesetzt. Dabei erscheinen die Fibonacci-Zahlen als SeitenlŠngen der Quadrate und Trapeze. Die Trapeze fŸhren zu einer Visualisierung der Fibonacci-Rekursion.

A75     2012    Renato Pandi und Hans Walser: Puzzle-AktivitŠten im Zwšlfeck. MNU 65/2 (1.3.2012) S. 88-90, ISSN 0025-5866, Verlag Klaus Seeberger, Neuss.

Das regelmŠ§ige Zwšlfeck im Einheitskreis hat den FlŠcheninhalt 3. Dieses unerwartet einfache Ergebnis lŠsst sich auf verschiedene Weisen herleiten, insbesondere drŠngen sich Puzzle-Beweise auf. Zuschneiden, Verschieben und Drehen der Puzzle-Teile fšrdert das zweidimensionale Vorstellungsvermšgen und bewegungsorientierte Lernprozesse. Es kommen auch Aspekte der Symmetrie und der €sthetik zum Tragen.

A74     2011    Hans Walser: Gleichgewichtsfiguren: Thales, Pythagoras und Archimedes. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 64/7 (15. 10. 2011), S. 442-443, ISSN 0025-5866.

Der Kreis des Thales und Satz des Pythagoras lassen sich auf nahe liegende Weise verallgemeinern. Die zugehšrigen Figuren haben eine Gleichgewichtseigenschaft, sie sind in sich ruhend. Damit kommen als Querbezug zur Physik die Hebelgesetze des Archimedes ins Spiel. Eine zentrale Rolle spielt die Summe von Quadraten von AbstŠnden, die wir auch in der Stochastik (Durchschnitt, Varianz) antreffen. Bei der Organisation der Hebelmechanismen treten Fragen der Topologie und der Kombinatorik auf.

A73     2011    Hans Walser: Proof Without Words: Fibonacci Trapezoids. Mathematics Magazine. 84 (2011) p. 295.

Proof of the identity:  (Fibonacci-Numbers)

A72     2011                Hans Walser: Der Baustein ist das Werkzeug. In: Filler, Andreas / Ludwig, Mathias /  Oldenburg, Reinhard (Hrsg): Werkzeuge im Geometrieunterricht. VortrŠge auf der 29. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft fŸr Didaktik der Mathematik vom 10. bis 12. September 2010 in Marktbreit. Hildesheim – Berlin: Franzbecker 2011.

In einer arbeitsteiligen Welt sind die Grenzen zwischen Werkzeug, Rohmaterial und Produkt flie§end geworden. Das gilt insbesondere in der Geometrie bei Verwendung von DGS (dynamische Geometrie-Software) und anderen elektronischen Hilfsmitteln. Ein Kreis muss nicht mehr mit dem Werkzeug ãZirkelÒ gezeichnet werden, sondern steht auf Abruf bereit. Dabei wird allerdings das Werkzeug ãZirkelÒ durch das Werkzeug ãSoftwareÒ ersetzt. Es werden exemplarisch gegebene Formen wie Quadrat, gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Trapez als ãWerkzeugeÒ eingesetzt. Als Werk-Plattformen werden regelmŠ§ige Raster verwendet. Einem regulŠren Sechseck werden Quadrate und gleichschenklige Trapeze aufgesetzt. Es erscheinen die Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt. Ein passendes Gelenkmodell fŸhrt zum Kehrwert einer Zahl.

A71     2011    Hans Walser: Die Modellierung des schšnen Scheins. Mathematikinformation, Nr. 55, 15. September 2011, S. 3-14. ISSN 1612-9156.

Ein Dauerbrenner in der Mathematikdidaktik ist die Frage, wie Sach- und AnwendungsbezŸge aus der so genannten realen Welt in den Schulunterricht eingebracht werden kšnnen. Der aktuelle Lšsungsansatz lŠuft Ÿber das Stichwort Modellierung. In dieser Arbeit werden verschiedene Beispiele dazu kritisch untersucht. Insbesondere wird der Unterschied zwischen Modellierung durch Funktionen einerseits und grafischer Darstellung mit sachgemŠ§en Hilfsmitteln andererseits beleuchtet. Inhaltlich kommen Spline-Funktionen, BŽzier-Kurven und Klothoiden zur Sprache.

A70     2011    Hans Walser: Winkeldefizite bei konvexen Polyedern. Mathematikinformation, Nr. 54, 15. Januar 2011, S. 44-51. ISSN 1612-9156.

                                   
Die Summe der ebenen Winkel an einer konvexen Polyederecke ist kleiner als 360¡. Zu jeder Polyederecke gibt es also ein Winkeldefizit als ErgŠnzung auf 360¡. Die Summe dieser Winkeldefizite ist konstant, nŠmlich 720¡. Die GedankengŠnge gehen auf RenŽ Descartes (1596-1650) zurŸck; der Satz von Descartes ist Šquivalent zur Polyederformel von Euler. Die vorgestellten Beispiele sind geeignet, das rŠumliche Vorstellungsvermšgen zu schulen. Der Beweisgang verwendet eine grundlegende Formel der sphŠrischen Geometrie. Exemplarisch werden auch einige nicht konvexe Polyeder besprochen.

A69     2010    Hans Walser: Handgreifliche Modelle der Kugelgeometrie und der hyperbolischen Geometrie. MU Der Mathematikunterricht. Elemente nichteuklidischer Geometrien. Jahrgang 56. Heft 6. Dezember 2010. Friedrich Verlag, Seelze. S. 28-37.

                        Aus Plastik- oder Metallstreifen (Verpackungsmaterial), welche nur ein Abbiegen nach oben oder unten, aber kein seitliches KrŸmmen nach links oder rechts zulassen, kšnnen Modelle mit geodŠtische Linien gebaut werden. Im Falle der Ebene sind diese geodŠtischen Linien Geraden, im Falle der Kugel Gro§kreise und in der hyperbolischen Geometrie einfach geodŠtische Linien. Ausgehend von einem ebenen Geflecht mit Sechsecken und Dreiecken kommen wir durch Abbau der Eckenzahl bei den Sechsecken automatisch zu Kugeln, durch Einbau zusŠtzlicher Ecken aber zu FlŠchen mit negativer FlŠchenkrŸmmung. Die Winkeleigenschaften des sphŠrischen Exzesses oder des hyperbolischen Defizits werden offensichtlich, ebenso Fragen um die Existenz oder Eindeutigkeit von Parallelen.

A68     2010    Hans Walser: Vom Gleisdreieck zur KleinÕschen Flasche. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 63/8 (1. 12. 2010), S. 465-467, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss.
Es wird eine Verallgemeinerung der KleinÕschen Flasche vorgestellt, welche sich mit Grafikprogrammen einfach darstellen lŠsst. Insbesondere kšnnen die Flaschen in einem Arbeitsgang hergestellt werden, ohne Zusammensetzung aus mehreren Teilen. Die Beispiele sind geeignet, topologische Fragen in den Unterricht einzubringen und das rŠumliche Vorstellungsvermšgen zu schulen. Es ergibt sich auch ein technischer Querbezug zur Astronomie.

A67     2010    Hans Walser: Legespiel mit Schlie§ungsfiguren. Von lokalen zu globalen Symmetrien. ml mathematiklehren 161, August 2010. S. 47-50.
Schlie§ungsfigur: Wir wiederholen denselben Arbeitsschritt und gelangen nach endlich vielen Schritten zur Ausgangsposition zurŸck. Wir haben also eine im weitesten Sinne zyklische Symmetrie. Im Unterricht werden SchŸlerinnen und SchŸler mit unerwarteten PhŠnomenen konfrontiert, die es zu verstehen gilt. Warum geht es auf? Ein Arbeitsschritt besteht im Beispiel dieses Artikels im bŸndigen AneinanderfŸgen eines beliebigen Viereckes mit Quadraten oder gleichseitigen Dreiecken. Die Schlie§ungsfiguren haben auch einen Šsthetischen Reiz. Lernziele: Algorithmisches Denken in konkreten Beispielen. Umgang mit dynamischer Geometrie-Software und einfacher Grafiksoftware. 

A66     2010    Hans Walser: DIN-Format und Fibonacci Zahlen. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 63/3 (15. 4. 2010), S. 151, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss.
Eine einfache Konstruktion mit Rechtecken im DIN VerhŠltnis liefert die Fibonacci Zahlen und damit indirekt den goldenen Schnitt.

A65     2010    Hans Walser: Ein FlŠchensatz. In: Katja KrŸger und Philipp Ullmann (Hg.): Von Geometrie und Geschichte in der Mathematikdidaktik. Festschrift zum 65. Geburtstag von Lutz FŸhrer. EichstŠtt: Polygon-Verlag 2010. ISNB: 978-3-928671-60-6. S. 41-52.
Zusammenfassung. Im stumpfwinkligen und im spitzwinkligen Dreieck findet sich ein FlŠchensatz, der eine gewisse Verwandtschaft zum Satz des Pythagoras aufweist. Zwar ist der Satz des Pythagoras kein Sonderfall dieses FlŠchensatzes, gleichwohl lŠsst sich eine Verbindung herstellen. Durch wiederholtes Anwenden und Zeichnen des FlŠchensatzes entstehen logarithmische und archimedische Spiralen.

A64     2009    Hans Walser: Die spinnen, die Mathematiker. Argumentieren, Beweisen und Standards im Geometrieunterricht. Hrsg: Matthias Ludwig, Reinhard Oldenburg, JŸrgen Roth.AK Geometrie 2007/08. Hildesheim, Berlin: Franzbecker 2009. ISBN 978-3-88120-487-3. S. 255-262. 
Zusammenfassung: Es werden zwei Argumentationsbeispiele referiert, eines aus dem Unterricht, das andere aus einem PausengesprŠch unter Lehrer/innen und Fachdidaktiker/innen. Dabei werden folgende Punkte angetippt. Erstens: Welches ist das passende Medium, insbesondere die adŠquate Sprache, fŸr ein sinnvolles Argumentieren in der Geometrie? Zweitens: Wir mŸssen uns von der Vorstellung lšsen, dass Argumentieren und Beweisen eine rein rationale Angelegenheit ist. Emotionale Aspekte und soziale Strukturen fŸhren zu Randbedingungen, unter denen ein rationaler Gedankenaustausch sehr erschwert wird.

A63     2009    Hans Walser: Was kommt denn da von draussen rein?  Argumentieren, Beweisen und Standards im Geometrieunterricht. Hrsg: Matthias Ludwig, Reinhard Oldenburg, JŸrgen Roth. AK Geometrie 2007/08. Hildesheim, Berlin: Franzbecker 2009. ISBN 978-3-88120-487-3. S. 143-152.
Zusammenfassung: Unter dem KŸrzel HarmoS wurde 2003/04 von der kantonalen Erziehungsdirektorenkonferenz ein Projekt zur Harmonisierung der Schulen in der Schweiz gestartet. Ich mšchte das Projekt unter folgenden externen Aspekten beleuchten: Verwendete Sprache und Terminologie, aktuelle Schulpolitik, engagierte Personen, Akzeptanz bei Betroffenen, Rolle und Bedeutung der Bildungsstandards.

A62     2009    Hans Walser: FŸnfpunktekreise. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 62/3 (15. 4. 2009), S. 146, ISSN 0025-5866 .

A61     2009    Hans Walser: Steckmodelle. MU Der Mathematikunterricht. Polyeder im Mathematikunterricht. Jahrgang 55. Heft 1. Februar 2009. Friedrich Verlag, Seelze. S. 38-47.

A60     2008    Stephan Rosebrock und Hans Walser: Zerlegungen der Ebene und regulŠre n-Ecke. Karlsruher pŠdagogische BeitrŠge. Kpg 69/2008. S. 115-125. ISSN 0724-5688

A59     2008    Hans Walser: Verquere SchŸlerfragen. Mathematikinformation, Nr. 49, 15. September 2008, S. 24-37. ISSN 1612-9156

A58     2007    Hans Walser: Was war vor dem Startwert? Mathematikinformation, Nr. 47, 15. September 2007, S. 63-73. ISSN 1612-9156

A57     2007    Hans Walser: Die Eulersche Gerade. Beweis ohne Worte. UNI NOVA Wissenschaftsmagazin der UniversitŠt Basel. 105 – MŠrz 2007. S. 20

A56     2006    Hans Walser: Optimierung in der Geometrie. Experimentieren im Geometrieunterricht. Hrsg: Timo Leuders und Reinhard Oldenburg. Hildesheim, Berlin: Franzbecker 2006. S. 129-146. ISBN 978-3-88120-477-4

A55     2006    Hans Walser: Innen und Au§en. Mathematikinformation, Nr. 45, 15. September 2006, S. 31 – 41. ISSN 1612-9156

A54     2005    Hans Walser: Wie weit sehen wir? Praxis der Mathematik (3/47), 2005, S. 38

A53     2004    Hans Walser: Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation von ¹. Praxis der Mathematik (6/46), 2004, S. 287-288

A52     2004    Heinrich Quillmann und Hans Walser: NŠherungsformeln zur AbschŠtzung des Umfanges gestreckter Ellipsen. Praxis der Mathematik (6/46), 2004, S. 278

A51     2004    Hans Walser: Polyhedra from Pyramids. Math Horizons. Published by the Mathematical Association of America. November 2004. p. 15-17, 22

A50     2003    Hans Walser: Der goldene Schnitt. Mathematiklehren. Die Zeitschrift fŸr den Unterricht in allen Schulstufen. Heft 121, Dezember 2003. S. 50 - 51

A49     2003    Alfred Hoehn und Hans Walser: Gittergeometrie und pythagoreische Dreiecke. Praxis der Mathematik (5/45), 2003, S. 215 - 217

A48     2003    Hans Walser: Eine Schar von Schnittpunkten im Dreieck. Praxis der Mathematik (2/45), 2003, S. 66 - 68

A47     2003    Hans Walser: Gleitfiguren und Gelenkfiguren. Mathematikinformation, Nr. 38, 15. Januar 2003, S. 17 - 34

A46     2000    Hans Walser: MaturitŠtsprŸfungen in der Schweiz. (PrŸfung verfasst von Reto Schuppli.) Praxis der Mathematik (6/42), 2000, S. 263 - 266

A45     2000    Hans Walser: The Pascal Pyramid. The College Mathematics Journal, Vol. 31, No. 5, November 2000, p. 383 - 392

A44     2000    Hans Walser: Konstruieren mit Lineal und ÓrostigemÓ Zirkel. Praxis der Mathematik (5/42), 2000, S. 227

A43     2000    Hans Walser / Dieter Wode: DiagonalenverhŠltnisse im regelmŠ§igen Vieleck. ZDM Zentralblatt fŸr Didaktik der Mathematik. Jahrgang 32, April 2000, Heft 2, S. 36 - 37

A42     2000    Hans Walser: Lattice Geometry and Pythagorean Triangles. ZDM Zentralblatt fŸr Didaktik der Mathematik. Jahrgang 32, April 2000, Heft 2, S. 32 - 35

A41     2000    Hans Walser: Symmetrie in Schulalltag und Theorie. Uni nova. Wissenschaftsmagazin der UniversitŠt Basel, 87, Juni 2000, S. 56 - 59

A40     2000    Hans Walser: The Pop-up Cuboctahedron. The College Mathematics Journal, Vol. 31, No. 2, March 2000, p. 89 - 92

A39     2000    Hans Walser: Gitter und ganze Zahlen. Mathematikinformation. Nr. 32, 15. Januar 2000. S. 3 – 26

A38     2000    Hans Walser: Pascal-TŸrme. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht. 53/1 (15.1.2000), S. 12 – 17

A37     1999    Hans Walser: Folgen sehen (htm) / (pdf). Mathematik Lehren. Heft 96, Oktober 1999. S. 47-50

A36     1999    Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke und Gittergeometrie. BeitrŠge zum Mathematikunterricht 1999. VortrŠge auf der 33. Tagung fŸr Didaktik der Mathematik vom 1. bis 5.3.1999 in Bern. FŸr die GDM herausgegeben von Michael Neubrand. Hildesheim: Franzbecker, 1999. ISBN 3-88120-304-4. S. 575-577

A35     1999    Frank Heinrich / Michael Schmitz / Hans Walser: Verallgemeinerungen der ÓMšndchen des HippokratesÓ. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 52/5, 1999, 264-270

A34     1999    Hans Walser: Pop Up Polyeder. MU Der Mathematik–Unterricht. Jahrgang 45. Heft 3. Mai 1999. S. 64-74

A33     1997    Hans Walser: Stoffdruck. BeitrŠge zum Mathematikunterricht: VortrŠge auf der 31. Tagung fŸr Didaktik der Mathematik vom 3. bis 7. MŠrz 1997 in Leipzig. FŸr die GDM herausgegeben von Kurt Peter MŸller. Hildesheim: Franzbecker, 1997. ISBN 3-88120-284-6. S. 522-523

A32     1997                Scott Johnson and Hans Walser: The Pop-Up Octahedron. Mathematics in School. Vol. 25, No. 5, November 1997, 2-4

A31     1997                Scott Johnson and Hans Walser: Pop-Up Polyhedra. The Mathematical Gazette. Vol. 81, November 1997, 364-380

A30     1997    Peter Hilton, Jean Pedersen and Hans Walser: The Faces of the Tri-hexaflexagon / pdf. Mathematics Magazine.  Vol. 70, October 1997, 243-251

A29     1997    Hans Walser: Ein Zusammenhang zwischen dem DIN-A-Format und dem goldenen Rechteck. Praxis der Mathematik (5/39), 1997, 197-198

A28     1997    Peter Hilton, Jean Pedersen and Hans Walser: Greeting Cards and Fractals. The Mathematical Gazette. Vol. 81,  July 1997, 252-262

A27     1997                Scott Johnson and Hans Walser: Collapsible cubes and other curiosities. The Australian Mathematics Teacher (vol. 53, no 1, 1997), 34-37

A26     1997    Hans Walser: Permutationen und Raumgeometrie. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 50/2, 1997, 74-76

A25     1996    Hans Walser: Geschlossene Korbbšgen. Praxis der Mathematik (38), 1996, 169-172

A24     1996    Hans Walser: Individuelle Semesterarbeiten im Fach Mathematik. VSMP-Bulletin 71, 31-33

A15a   1995    Hans Walser: Geometrie zum Anfassen. In Trends im Geometrieunterricht. Tagungsband der Zwšlften Tagung des GDM-Arbeitskreises Geometrie im Unterricht in VISEGRAD 29. 09. – 03. 10. 1995.

A23     1995    Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke in der Gittergeometrie. Didaktik der Mathematik (23), 1995, 193-205

A22     1994    Hans Walser: PeriodizitŠt bei der Newton-Rekursion. Die Wurzel (28, Heft 12/94), 270-271

A21     1994    Hans Walser: Geometrie zum Anfassen - Flechtmodelle fŸr Polyeder. Tagungsband der Herbsttagung 1994 von VDBiol und MNU in Konstanz, 39-46

A20     1994    Hans Walser: Geometrie zum Anfassen. Mathematik Lehren, Heft 65, Aug. 1994, 56-59

A19     1994    Hans Walser: Eine Verallgemeinerung der Winkelhalbierenden. Didaktik der Mathematik (22), 1994, 50-56

A18     1993    Hans Walser: RegulŠre Vielecke in der Rastergeometrie. Didaktik der Mathematik (21), 1993, 230-237

A17     1993    Hans Walser: Die Eulersche Gerade als Ort "merkwŸrdiger Punkte". Didaktik der Mathematik (21), 1993, 95-98

A16     1993    Martin Huber, Ueli Manz,  Hans Walser: AnnŠherung an den Goldenen Schnitt. Berichte Ÿber Mathematik und Unterricht, Bericht 93-01, ETH-ZŸrich

A15     1993    Hans Walser: Geometrie zum Anfassen. BeitrŠge zum Mathematikunterricht. VortrŠge auf der 27. Bundestagung fŸr Didaktik der Mathematik vom 22. bis 26. 3. 1993 in Freiberg/Schweiz. Verlag Franzbecker, Hildesheim. 366-369

A14     1993    Hans Walser: Eine spezielle Klasse von Parallelogrammen. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 46/3, 1993, 163-164

A13     1993    Hans Walser: Geometrische Schlie§ungsfiguren im Unterricht. Praxis der Mathematik (35), 1993, 77-84

A12     1991    Hans Walser: Schlie§ungsfiguren. Didaktik der Mathematik (19), 1991, 187-206

A11     1991    Hans Walser: Ein Schnittpunktsatz. Praxis der Mathematik (33), 1991, 70-71

A10     1990    bis 1994 Hans Walser: Schlu§punkt (Geometrische "Comic-strips"). Didaktik der Mathematik (18 bis 22)

A09     1989    Hans Walser: Fraktale. Berichte Ÿber Mathematik und Unterricht, Bericht 89-01, ETH-ZŸrich

A08     1988    Hans Walser: Ein Schlie§ungssatz der Elementargeometrie. Elemente der Mathematik (43), 1988, 161-169

A07     1987    Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Didaktik der Mathematik (15), 1987, 176-195

A06     1987    Hans Walser: Flechtmodelle. Didaktik der Mathematik (15), 1987, 1-17

A05     1985    Hans Walser: Stirlingsche Zahlen im Unterricht. Didaktik der Mathematik (13), 1985, 150-168

A04     1983    Hans Walser: Ein Zerlegungssatz fŸr punktsymmetrische konvexe Vielecke. Elemente der Mathematik (38), 1983, 159-160

A03     1980    Hans Walser: Der Einsatz von programmierbaren Taschenrechnern im Unterricht. Didaktik der Mathematik (8), 1980, 27-38

A02     1976    Hans Walser: Eine †bertragung der Formel von Gau§-Bonnet auf ebene Netze. Elemente der Mathematik (31), 1976, 59-64

A01     1975    Hans Walser: RegulŠre Kreisnetze. Didaktik der Mathematik (3), 1975, 121-133