Der Inkreis

 

 

 

Hans Walser

 

37. Fortbildungstagung fŸr Geometrie

 

10. bis 12. November 2016

Bundesinstitut fŸr Erwachsenenbildung St. Wolfgang

 

Mit einfachen Modellen und/oder dynamischer Geometriesoftware lassen sich verschiedene klassische BerŸhrprobleme verblŸffend einfach angehen.

Zur Sprache kommen Inkreise, das Problem des Apollonius, Tangentenvierecke in der Ebene und im Raum, ParitŠtsfragen.


 

1     Inkreis im Dreieck

Der Inkreis wird mit Winkelhalbierenden konstruiert.

 

    

Winkelhalbierende und Inkreis

 

1.1    Das Damaskus-Erlebnis

Dass sich in einem Dreieck die drei Mittelsenkrechten (oder die drei Winkelhalbierenden oder die drei Hšhen) in einem Punkt schneiden, hat Hans Freudenthal (1905-1990) derart getroffen, dass er sich entschloss, sein Leben der Mathematik und ihrer Didaktik zu widmen.

 

Hans Freudenthal (1905-1990)

 

1.2    Winkelhalbierende

Der Inkreis wird in der Schule mit Winkelhalbierenden konstruiert.

 

Winkelhalbierende und Inkreis

 

Kann der Inkreis auch ohne Winkelhalbierende gefunden werden?

1.3    Kegel und Lochschablone

Wir stŸlpen eine Lochschablone des Dreiecks Ÿber einen geraden Kreiskegel. Am Anschlag zeigt sich der Inkreis.

 

Kegel und Lochschablone

 

1.4    Schlie§ungsfigur

Wir zeichnen Kreisbšgen ins Dreieck. Die Figur schlie§t sich nach sechs Schritten.

 

Schlie§ungsfigur

 

Die sechs Punkte auf den Dreiecksseiten liegen auf einem Kreis. Dieser ist konzentrisch zum Inkreis.

 

Sechspunktekreis

 

1.5    Besserer Startpunkt

Wir verschieben den Startpunkt etwas.

 

Die Kšnigskinder kommen sich nŠher

 

Nach drei Schritten haben wir dieselbe Verschiebung in der entgegengesetzten Richtung. Die beiden Punkte nŠhern sich an.

Beim Startpunkt in der Mitte schlie§t sich die Figur schon nach drei Schritten. Es ergeben sich die BerŸhrpunkte des Inkreises.

Diese Denkweise wurde von Adam Ries (1492/93-1559) als regula falsi (Regel des falschen Ansatzes) kultiviert.

 

 

Optimaler Startpunkt. Inkreis

 

1.6    Inkreis mit Hyperbeln

Wir zeichnen eine Hyperbel mit zwei Dreiecksecken als Brennpunkte, welche durch die dritte Ecke verlŠuft. Dies geht auf drei Arten. Die drei Hyperbeln schneiden sich in einem Punkt und durchsetzen die Dreiecksseiten rechtwinklig. Die Schnittpunkte mit den Dreiecksseiten sind die BerŸhrpunkte des Inkreises. Beweise als †bungsaufgabe.

 

Hyperbeln

 

Der Schnittpunkt der drei Hyperbeln ist allerdings nicht das Zentrum des Inkreises, aber das Zentrum des Kreises, der die drei Kreisbšgen der frŸheren Konstruktion berŸhrt.

 

Inkreis und Innenkreis

 

1.7    Zwischenspiel: Problem des Apollonius

Apollonius von Perge (ca. 262 v. Chr. – ca. 190 v. Chr.): Zu drei Kreisen ist ein vierter Kreis gesucht, der die drei gegebenen Kreise berŸhrt.

Dazu zeichnen wir erst die Mittelpunkte der drei MinimalabstŠnde. Ein geeigneter Kreis um einen solchen Mittelpunkt berŸhrt zwei der drei gegebenen Kreise. Wir der Kreisradius etwas vergrš§ert, wandert der Mittelpunkt auf der Hyperbel mit den Brennpunkten in den Zentren der beiden berŸhrten Kreise.

 

MinimalabstŠnde. Hyperbel

 

Die drei nach dieser †berlegung konstruierten Hyperbeln schneiden sich in einem Punkt. Dieser ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreises.

 

Problem des Apollonius

 

Diese Konstruktion geht auf Adriaan van Roomen (1561-1615) zurŸck.

Puritaner werden bei dieser Konstruktion die Nase rŸmpfen. Sie ist nicht mit Zirkel und Lineal durchfŸhrbar. Allerdings ist da zu bemerken, dass Konstruktionen mit ãZirkel und LinealÒ auch nur in unserer Vorstellung exakt sind. Die Konstruktion von van Roomen ist aber rein logisch všllig exakt. Mit heutigen technischen Mšglichkeiten (DGS) ist auch ein hinreichend gute Zeichnung mšglich.

 

2     Vierecke

2.1    WennÕs nicht geht, gehtÕs nicht

Wenn wir bei einem beliebigen Viereck Bšgen einzeichnen und den Startpunkt verschieben, verschiebt sich der Endpunkt um gleich viel in der gleichen Richtung. Die Kšnigskinder kommen also nicht zusammen.

 

Die Kšnigskinder kommen sich nicht nŠher

 

2.2    Tangentenviereck

Wenn wir umgekehrt in einem Tangentenviereck Bšgen einzeichnen, schlie§t sich die Bogenfigur bei beliebigen Startwerten nach vier Schritten.

 

Tangentenviereck

 

Da die von einer Ecke ausgehenden Tangentenabschnitte jeweils gleich lang sind, erhalten wir fŸr ein Tangentenviereck die notwendige Bedingung, dass die Summe der Gegenseiten konstant ist.

 

Summe der Gegenseiten konstant

 

Es gilt:

 

                                                                                                                     (1)

 

€quivalent dazu verschwindet die alternierende Seitensumme:

 

                                                                                                               (2)

 

Schlie§lich gibt es auch eine Differenzengleichheit:

 

                                                                                                                     (3)

 

Man kann zeigen, dass diese notwendigen Bedingungen fŸr ein Tangentenviereck auch hinreichend sind. Die Bedingungen legen allerdings das Tangentenviereck noch nicht fest.

2.3    Zwei SŠtze Ÿber Tangentenvierecke

2.3.1   Newton

Wir verbinden gegenŸberliegende BerŸhrungspunkte des Inkreises. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungslinien liegt auf dem Diagonalenschnittpunkt. Beweis siehe (F. G.-M. (Frre Gabriel-Marie) 1920, p. 573).

 

Satz von Newton

 

2.3.2   Kissing circles

Wir zerlegen das Tangentenviereck mit einer Diagonalen in zwei Dreiecke. Die beiden Inkreise der Teildreiecke berŸhren sich.

 

Kissing circles

 

Dies ist genau bei Tangentenvierecken der Fall. Warum?

2.4    Gelenkmodelle

Ein Gelenkmodell, das einer dieser Bedingungen genŸgt, kann verformt werden. In jeder Situation ergibt sich ein Tangentenviereck.

Den grš§ten Inkreis und damit auch den grš§ten FlŠcheninhalt erhalten wir fŸr dasjenige Viereck, das auch einen Umkreis hat (Sehnentangentenviereck). Es handelt sich hier um eine Variante des isoperimetrischen Problems.

Die folgende Abbildung zeigt ein echtes Gelenkmodell in zwei verschiedenen Positionen. Die Tangentenviereckbedingung kann durch AbzŠhlen der LochabstŠnde verifiziert werden.

 

Gelenkmodell

 

Die optimale Position finden wir, indem wir das Modell Ÿber einen Kegel stŸlpen.

 

   

Optimale Lšsung

 

Die Bedingung (2) (Verschwinden der alternierenden Seitensumme) gestattet, das Gelenkmodell wie ein Taschenmesser zusammenzuklappen.

 

    

Klappviereck

 

2.5    Konstruktion mit einer Hyperbel

Die Bedingung (3) fŸhrt zu einer Konstruktion mit einer Hyperbel. Die beiden Brennpunkte und zwei Hyperbelpunkte bilden ein Tangentenviereck.

 

           

Konstruktion mit einer Hyperbel

 

3     Im Raum: Tangententetraeder

Die folgende Abbildung zeigt ein Tetraeder mit einer Kugel, welche alle sechs Kanten des Tetraeders berŸhrt.

 

Tangententetraeder

 

Einzeichnen der BerŸhrungspunkte und Weglassen der KantenberŸhrkugel fŸhrt zur Einsicht dass die Summen der Gegenkanten konstant sind.

 

    

Summen der Gegenkanten konstant

 

4     FŸnfeck

4.1    Bogen

In einem beliebigen FŸnfeck zeichnen wir die Eckenbogen ein.

 

    

Im FŸnfeck

 

Wir haben im Prinzip dieselbe Situation wie beim Dreieck. Trotzdem hat das FŸnfeck nicht automatisch einen Inkreis. Es ist sozusagen erst die notwendige Bedingung dafŸr automatisch erfŸllt.

Die folgende Abbildung zeigt die Bšgen fŸr ein GelenkfŸnfeck. Es sind zusŠtzlich die erwarteten BerŸhrungspunkte mit einer MustertŸtenklammer markiert. Diese Klammern sind also keine Gelenke.

 

    

Gelenkmodell

 

4.2    TangentenfŸnfeck

Erst wenn wir das Gelenkmodell Ÿber den Kegel strammstŸlpen, ergibt sich das TangentenfŸnfeck.

 

    

TangentenfŸnfeck

 

4.3    Tangentenpentagramm

Mit denselben Bauteilen des Gelenkmodells in derselben Reihenfolge und denselben BerŸhrungspunkten, aber mit doppeltem Umlauf, ergibt sich ein Tangentenpentagramm.

 

Weihnachten kommt bestimmt

 

5     Berechnungen

Wir fŸhren die Berechnungen exemplarisch am FŸnfeck durch.

In einem ersten Schritt berechnen wir die Tangentenabschnitte, also die Radien der violetten Bšgen.

Im zweiten Schritt berechnen wir den Inkreisradius des TangentenfŸnfeckes.

5.1    Tangentenabschnitte

Wir verwenden die Bezeichnungen der folgenden Figur.

 

Bezeichnungen

 

Es ist:

 

                                                           (7)

 

 

 

Durch alternierendes Addieren der Zeilen von (7) ergibt sich:

 

                                                                                       (8)

 

 

Mit zyklischer Vertauschung erhalten wir:

 

                                                                                        (9)

 

 

 

Das Gleichungssystem (7) hat die Koeffizientenmatrix:

 

                                                                                                 (10)

 

 

 

FŸr die Determinanten der quadratischen  Matrix links erhalten wir exemplarisch:

 

        (11)

 

 

 

 

 

Es ergibt sich eine Fallunterscheidung gemŠ§ der ParitŠt von n:

FŸr ungerades n erhalten wir die Determinante 2. Dies kann zum Beispiel mit der Entwicklung nach der ersten Spalte gezeigt werden. Das Gleichungssystem ist regulŠr und hat genau eine Lšsung.

FŸr gerades n erhalten wir die Determinante 0. Die alternierende Zeilensumme verschwindet. Wir sind im singulŠren Fall. Wenn die alternierende Summe der Koeffizienten nicht verschwindet, haben wir keine Lšsung. Sonst unendlich viele Lšsungen.

5.2    Inkreisradius

FŸr die Berechnung des Inkreisradius r arbeiten wir gemŠ§ der folgenden Abbildung.

 

Berechnung des Inkreisradius r

 

Es ist zunŠchst:

 

                                                                                                              (11)

Analog fŸr die Ÿbrigen Sektoren. Da jeder Winkel  zweimal vorkommt, ist:

 

                                                                                              (12)

 

Somit erhalten wir fŸr den Inkreisradius r die Bestimmungsgleichung:

 

                             (13)

 

Im Beispiel unseres Gelenkmodells hei§t das:

 

                                     (14)

 

Mit CAS erhalten wir die Lšsung:

 

                                                                                           (15)

 

Das Pentagramm-Gelenkmodell hat die doppelte Umlaufszahl. Anstelle der Gleichung (14) erhalten wir daher:

 

                                   (16)

 

Diese Gleichung hat die Lšsung:

 

                                                                                           (17)

 

 

Literatur

F. G.-M. (Frre Gabriel-Marie) (1920): Exercices de gŽomŽtrie. Comprenant lÕexposŽ de mŽthodes gŽomŽtriques et 2000 questions rŽsolues. Sixime Ždition. Tours: Maison A. Mame et fils / Paris: J. de Gigord.
RŽimpression: 1991, Edition Jacques Gabay, Sceaux. ISBN 2-87647-083-7

 

 

 

Websites

 

[TangentenfŸnfeck], abgerufen 20. 11. 2015

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangentenfuenfeck/Tangentenfuenfeck.htm

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangentenfuenfeck/Tangentenfuenfeck.htm

 

[Tangentensiebeneck], abgerufen 20. 11. 2015

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangentensiebeneck/Tangentensiebeneck.htm

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangentensiebeneck/Tangentensiebeneck.pdf

 

[Tangententetraeder], abgerufen 20. 11. 2015

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangententetraeder/Tangententetraeder.htm

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangententetraeder/Tangententetraeder.pdf

 

[Tangentenviereck als Gelenkmodell], abgerufen 20. 11. 2015

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tang_Viereck_Gelenkmodell/Tang_Viereck_Gelenkmodell.htm

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tang_Viereck_Gelenkmodell/Tang_Viereck_Gelenkmodell.pdf

 

[Tangentenviereck mit MŸnzen], abgerufen 20. 11. 2015

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tang4eck_m_Muenzen/Tang4eck_m_Muenzen.htm

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tang4eck_m_Muenzen/Tang4eck_m_Muenzen.pdf

 

[Tangentenvierecke], abgerufen 20. 11. 2015

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangentenvierecke/Tangentenvierecke.htm

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangentenvierecke/Tangentenvierecke.pdf

 

Adresse des Autors:

Hans Walser

www.walser-h-m.ch/hans/