Hans Walser

 

 

Zauber des DIN-Formates

 

Workshop am SchŸler/innen-Tag

22. Forum fŸr Begabungsfšrderung

Samstag,  16. MŠrz 2019

TU Braunschweig

 

 

Zusammenfassung

Das bekannte DIN-Format, zum Beispiel Papier im Format DIN A4 oder DIN A6, hat viele interessante geometrische Eigenschaften.

Die Unterschiede zwischen einem DIN A4 Papier und einem US Letter Papier machen Šu§erlich nur einige Millimeter aus - die geometrischen und mathematischen Ideen dahinter unterscheiden sich fundamental.

Papiere im DIN-Format kšnnen auch fŸr den Bau rŠumlicher Modelle verwendet werden. Zudem lŠsst sich die Idee des DIN-Formates auf andere Figuren Ÿbertragen.

1    DIN A4 und DIN A5

Wir beginnen mit zwei Papieren im DIN A4 Format und falten eines zum DIN A5 Format. Dann zeichnen wir in beiden die Diagonale von links unten nach rechts oben und legen sie so aufeinander, dass die Ecken links unten bŸndig sind. Dann liegen die Diagonalen in einer Flucht.

Es passt

Die Formate DIN A4 und DIN A5 haben dieselbe Form. Dies kann auch mit einer Perspektive eingesehen werden.

Perspektive

Bei einem Drucker oder Kopierer kšnnen wir zwei A4-Seiten im Hochformat auf eine A4-Seite im Querformat verkleinern.

Aus zwei mach eins

2     US Letter

Nun vergleichen wir mit dem in den USA gebrŠuchlichen Papierformat US Letter. Dieses Papier ist im Vergleich zu DIN A4 etwas weniger hoch, dafŸr etwas breiter.

DIN A4 und US Letter

Zur Erinnerung: 1 in (inch) = 2.54 cm

Im US Letter Format stimmen die Diagonalen nicht Ÿberein.

Diagonalen passen nicht aufeinander

Die Perspektive stimmt nicht.

Fehlende Perspektive

Auch beim Kopierer klappt es nicht. Wir mŸssen mit 64.7% verkleinern, aber dann bleibt unten ein ReststŸck.

Aus zwei mach weniger als eins

Wollten wir das ganze Querformat-Papier verwenden, ergeben sich Verzerrungen.

Verzerrungen

3     LŠnge und Breite

3.1    DIN-Format

Die Tabelle zeigt LŠnge (Hšhe) und Breite aufeinanderfolgender DIN-Formate. Es wurde auch das VerhŠltnis LŠnge zu Breite angegeben. Wir sehen, dass da, abgesehen von kleinen Mess- und Rundungsfehlern, immer dieselbe VerhŠltniszahl herauskommt. Das hei§t, dass die DIN-Formate alle dieselbe Form haben. Lediglich die Grš§e Šndert, sie werden immer kleiner.

 

 

 

 

 

Ausma§e im DIN-Format

 

Was fŸr eine Zahl ist diese VerhŠltniszahl?

Dazu folgende Rechnungen:

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Zahl ist die Quadratwurzel aus 2 oder kurz ãWurzel 2Ò. Das ist die Zahl, welche mit sich selber multipliziert genau 2 ergibt. Diese Zahl ist recht interessant. Sie hat unendlich viele Dezimalstellen und keine Periode (Wiederholungen) in den Dezimalstellen.

3.2    US Letter

Die Tabellen geben die Ausma§e fŸr das US Letter Format zunŠchst in cm und dann in inch.

 

 

 

 

 

Ausma§e im US Letter Format

 

 

 

 

 

Ausma§e in inch

Wir sehen, dass wir im Wechsel zwei verschiedene VerhŠltniszahlen haben. Die Formen Šndern sich. Das US Letter Format ist zunŠchst kurz und breit, die HŠlfte davon aber ein langer Lulatsch.

Die beiden VerhŠltniszahlen lassen sich aber als schšne BrŸche darstellen. Die Elftel haben eine PeriodenlŠnge 2:

 

 

 

Bei den Siebzehnteln ist die Sache spannender: die PeriodenlŠnge ist 16. Das kann man nicht mehr mit dem Taschenrechner, man muss von Hand arbeiten. Es ergibt sich:

 

 

 

4     Quadrat und Quadratdiagonale

Durch Falten erhalten wir ein Quadrat mit einer Diagonalen.

Quadrat mit einer Diagonale

Die lange Seite des DIN-Papieres ist gleich lang wie die Quadratdiagonale. Beim US Letter Papier passt es nicht.

Bei DIN A4 passt es, bei US Letter nicht

Nun schneiden wir das Quadrat ab. Wir werden es spŠter noch brauchen kšnnen. Mit vier ReststŸcken (Teamwork) kšnnen wir ein regelmŠ§iges Achteck bauen, wenn wir die StŸcke immer diagonal aufeinanderlegen.

Quadrat. Achteck aus 4 ReststŸcken

5     Spirale

Wir schneiden ein Set von DIN-Papieren zu. Dies geschieht durch fortlaufendes flŠchenmŠ§iges Halbieren.

Set von DIN-Papieren

Wir kšnnen die Papiere so anordnen, dass sie in ein DIN A3 Format passen.

AusfŸllen eines DIN A3 Formates

Wir kšnnen die Papiere aber auch spiralfšrmig anordnen.

Eckige Spirale

Das Zentrum der Spirale ergibt sich durch Dritteln. Das ist merkwŸrdig, weil wir bis jetzt immer flŠchenmŠ§ig halbiert haben.

Zentrum bei Dritteln

6     Die DIN Idee

Die Grundidee des DIN-Formates besteht darin, dass wir ein Papier in zwei Teile zerlegen kšnnen, welche die gleich Form haben wir das Startpapier.

Gibt es andere Figuren, welche in zwei Teile zerlegt werden kšnnen, so dass die Form erhalten bleibt?

6.1    Das halbe Quadrat

Wir zerschneiden unser Quadrat lŠngs der Diagonalen. Dadurch erhalten wir zwei so genannte rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke.

Das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck kšnnen wir nun zerlegen in zwei kleinere rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke. Eines der beiden kleinen Dreiecke kšnnen wir weiter zerlegen und so weiter.

Halbes Quadrat

Es gibt auch eine spiralfšrmige Anordnung. Das Zentrum der Spirale liegt bei FŸnfteln.

Spirale

Wir kšnnen in beiden FŠllen die Thaleskreise einzeichnen.

Thaleskreise

Die Spirale kšnnen wir auch erfalten. Dazu starten wir mit einem gro§en rechtwinklig gleichschenkligen Papier. Besonders schšn wird es, wenn das Papier auf seinen zwei Seiten ungleich gefŠrbt ist.

Faltmodell

6.2    DIN Kisten

Statt mit zweidimensionalen rechteckigen Papieren arbeiten wir nun mit dreidimensionalen Kisten (Quadern). FŸr die SeitenverhŠltnisse brauchen wir nun kubische Wurzeln aus 2.

Es ist:

 

 

 

 

 

Die kubische Wurzel aus 2 hat ebenfalls unendlich viele Dezimalstellen und nie eine Periode.

Durch volumenmŠ§iges Halbieren einer Kiste erhalten wir zwei Kisten von der gleichen Form von der nŠchsten Generation.

Wir kšnnen das Kistenset aufeinander stapeln.

 

 

Kisten nach der DIN Idee

Auch hier kšnnen wir nach einer Spirale fragen. Das Interessante ist, dass sie bereits da ist. Man muss sie nur sehen.

Spirale

Es handelt sich um eine rŠumliche Spirale nach Art einer Wasserschnecke. Von oben sieht sie wie eine ebene Spirale aus, aber in der Seitenansicht sehen wir, dass sie sich in den Raum hineinschraubt.

Wasserschnecke

Die Foto zeigt eine versteinerte Schnecke aus dem Jura.

Versteinerte Schnecke

7     Wir falten ein Achteck

Wir arbeiten mit einem DIN A4 Papier. Die Abbildung zeigt die einzelnen Faltschritte.

 

Faltschritte fŸr das Achteck

Die Foto zeigt Vorder- und RŸckseite des Faltmodells.

                   

Achteck als Faltmodell

Wenn wir denselben Faltprozess mit einem Papier im US Letter Format durchfŸhren, erhalten wir zwar auch ein Achteck mit gleichen Winkeln, aber die Seiten sind im Wechsel kurz oder lang. Es ist kein regelmŠ§iges Achteck.

Achteck aus US Letter

8     WŸrfel und Tetraeder

8.1    Kantenmodell des WŸrfels

Als Baumaterial dient Papier im DIN A6 Format. Geeignet ist Papier der StŠrke 80 g/m2, das vom Format DIN A4 auf DIN A6 zugeschnitten wird. Ebenfalls geht es mit dŸnnen Karteikarten.

FŸr jede Kante braucht es ein Papier.

FŸr den Faltprozess verwenden wir eine etwas festere DIN A6 Karte als Faltlehre. Wir legen diese Faltlehre diagonal auf ein DIN A6 Papier und falten die vorstehenden Ecken des darunterliegenden Papiers nach vorne Ÿber die Faltlehre. Dann entfernen wir die Faltlehre. Der Umriss des Papiers ist nun ein Rhombus mit dem spitzen Winkel .

Faltvorgang

Nun falten wir die untere Spitze des Rhombus nach hinten unter die obere Spitze. Diese letzte Faltlinie wird zu einer Kante des WŸrfels. Was an dieser Kante noch vorsteht, kann zurŸckgebogen oder abgeschnitten werden. Damit haben wir unser Bauteil. Es hat die Form eines doppellagigen gleichschenkligen Dreiecks mit zwei Verbindungslaschen zum Einschieben in die Nachbarteile.

Die folgende Abbildung zeigt ein gešffnetes Bauteil von innen. Die Spitzen der beiden Rhomben-HŠlften mŸssen vor dem Zusammenbau des Modells noch aufeinander gelegt werden. Diese Spitzen kommen alle in den Mittelpunkt des WŸrfels zu liegen. Die Seiten der Rhomben werden zu halben Raumdiagonalen des WŸrfels.

Wir benštigen 12 Bauteile. Beginnend mit drei verschieden farbigen DIN A4 Papieren, die wir zu DIN A6 Papieren vierteln, erhalten wir drei SŠtze von je vier gleichfarbigen Bauteilen. Damit kšnnen wir den jeweils vier parallelen WŸrfelkanten dieselbe Farbe zuordnen.

Bauteil

Und nun kommt das Interessante, der Zusammenbau. Wir schieben jeweils eine Verbindungslasche zwischen die beiden gleichschenkligen Dreiecke des Nachbarbauteils. Dabei achten wir darauf, dass an jeder halben Raumdiagonale des WŸrfels drei Bauteile in den drei verschiedenen Farben zusammen kommen. Parallele WŸrfelkanten haben dieselbe Farbe.

Kantenmodell des WŸrfels

Es empfiehlt sich, den Zusammenbau schrittweise mit BŸroklammern zu fixieren. An jeder Ecke des WŸrfels ergeben sich schlie§lich drei BŸroklammern.

Wenn alles sitzt, kšnnen die BŸroklammern schrittweise entfernt und durch eine Heftklammer mit dem Tacker ersetzt werden. Dabei hat man den Ehrgeiz, dass die Klammern symmetrisch eingebracht werden.

8.2    Kantenmodell des Tetraeders

Beim regelmŠ§igen Tetraeder haben wir den ErgŠnzungswinkel von  auf 180¡, also 109.4712¡, als Winkel zwischen den vom Zentrum aus zu den Ecken verlaufenden Strecken. Daher kann analog zum Kantenmodell des WŸrfels ein Kantenmodell des Tetraeders gebaut werden.

 

Beschreibung: 03_52

Kantenmodell des Tetraeders

Literatur

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.

Walser, Hans (2016): Spielereien im DIN-Format. MU, Der Mathematikunterricht. Jahrgang 62. Heft 5-2016. S. 3-13.

 

Websites

Miniaturen zum DIN-Format:

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/DIN_Format

 

Abbildungsnachweis

Alle Abbildungen und Fotos durch den Autor

 

 

Last modified: 30. Juli 2018