Hans Walser

Aufwickeln und Abwickeln

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111. MNU-Bundeskongress 15.-18.04.2020 in Bingen

 

Zusammenfassung: Beispiele von wenig bekannten Abwicklungen. Diskussion zum Begriff ãNetzÒ. Minimale Anzahl Klebelaschen. Aufwickeln zu Kreis und Dreieck. Mechanische Modelle. Das Rad auf dem Rad und die Fourier-Entwicklung. Hundekurve und Parametertransformation. Winkeldrittelung. Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal. Aufwickeln zum Würfel. Roboter mit fünf bewegten Drehachsen.

 

Letzte €nderung: 16. Januar 2020

1           Wozu passen die Abwicklungen?

Zu welchen Kšrpern passen die Abwicklungen?

Beide Abwicklungen bestehen aus 24 Dreiecken. Das Ikosaeder kommt also nicht in Frage. Gehšren die beiden Abwicklungen zum selben Kšrper? Beim unteren Beispiel ist irritierend, dass sechs Dreiecke an einer Ecke zusammenkommen. Ist das im nicht-ebenen Fall mšglich?

Das obere Beispiel kann unterteilt werden in sechs Tetraederabwicklungen. TatsŠchlich kšnnen wir die Abwicklung sechslagig (Problem mit der Papierdicke) auf ein Tetraeder aufwickeln.

Sechsfache Tetraederabwicklung

Wir sehen darin aber auch eine dreifache Oktaederabwicklung.

Dreifache Oktaederabwicklung

2           Abwicklungen des WŸrfels

Die WŸrfelabwicklungen sind uns vertraut.

Die elf WŸrfelabwicklungen

In der Schule ist es Ÿblich, nach der Position der Klebelaschen zu fragen. Ein einfacher Trick besteht darin, an jeder zweiten Kante eine Klebelasche anzubringen (Rei§verschlusstechnik).

Wir kšnnen auch nach der Minimalzahl an Klebelaschen fragen, so dass das WŸrfelmodell gerade noch stabil ist.

Das Experiment an realen Abwicklungen zeigt:

á            Neun der elf Abwicklungen benštigen zwei Klebelaschen. In der folgenden Abbildung sind das die ersten neun Abwicklungen. Die Lšsungen sind exemplarisch, es gibt noch andere. Kanten, die mit einer Klebelasche verbunden werden mŸssen, sind in gleicher Farbe angegeben. Bei zwei roten Kanten muss also an einer der beiden roten Kanten eine Klebelasche angebracht werden, die dann mit der anderen roten Kante verklebt werden kann. Analog fŸr zwei blaue Kanten.

á            Die beiden letzten Abwicklungen kommen mit einer einzigen Klebelasche aus.

Lšsung

Die beiden letzten Abwicklungen lassen sich je zu einem (unendlich langen) Bandornament fortsetzen.

Bandornamente

Ein solches Bandornament lŠsst sich (unendlich dŸnnes Material vorausgesetzt) (unendlich oft) auf einen gegebenen WŸrfel aufwickeln, ohne dass abstehende Ohren entstehen. Wir kšnnen das Ornament als Getriebekette verwenden.

    

Kettengetriebe. WŸrfel als Zahnrad

3           Netz?

In der Schule wird oft der Ausdruck ãWŸrfelnetzÒ verwendet. So steht es sogar im Lehrplan. Sinnvoll ist das nicht, denn in der Alltagssprache bedeutet ãNetzÒ meist ein System aus Knoten und Verbindungen.

Beispiele:

Sammelnetz: Spinnennetz, Fischernetz, Einkaufsnetz, GepŠcknetz, Haarnetz

Verteilnetz: Versorgungsnetz, Verkehrsnetz, Stromnetz, Wassernetz, Gasnetz

Kommunikationsnetz: Internet, Telefonnetz, soziales Netz

Koordinatennetz

Im folgenden Beispiel stimmt das System der Knoten und Verbindungen nicht mit der RealitŠt Ÿberein.

Welche Kanten fŸhren zum blauen Punkt?

Die folgenden sprachlich korrekten WŸrfelnetze geben Auskunft Ÿber die Topologie des WŸrfels, sind aber keine Schnittmuster oder Abwicklungen.

WŸrfelnetze

4           Aufwickeln zum Kreis

4.1      Straffer Faden

Die Abbildung zeigt die verschiedenen Stadien des Aufwickelns.

Aufwickeln mit straff gespanntem Faden

Die Bahnkurve des Fadenendes ist eine Evolvente des Kreises.

Evolvente

4.2      Lockerer Faden

Der Faden ist nun nicht mehr gespannt, sondern jeweils gleichmŠ§ig gekrŸmmt, also ein Kreisbogen.

GleichmŠ§ig gekrŸmmt

Die Bahnkurve der Fadenenden ist eine Art halbe Herzkurve, aber nicht die offizielle Kardioide.

Halbe Herzkurve

5           Aufwickeln zum Dreieck

Wir arbeiten mit einem gleichmŠ§ig geknickten Gelenkmodell. Die Au§enwinkel sind jeweils konstant.

GleichmŠ§ig geknicktes Gelenkmodell

Das Abknicken kann mit einem mechanischen Modell realisiert werden.

Mechanisches Modell

Die folgende Abbildung zeigt die verschiedenen Stadien des Aufwickelns.

Aufwickeln

Die Bahnkurven der Gelenke und Endpunkte sind Kreise und KreisŸberlagerungen.

Bahnkurven

6           Kollision

Wir erkennen an der Dreiecksspitze, dass die GelenkstŠbe diese teilweise Ÿberschneiden. Wo findet die Kollision statt?

Kollision

Das blaue Dreieck ist gleichschenklig. Wir rechnen nun mit den Au§enwinkeln dieses Dreieckes. An der Basis haben wir je den Au§enwinkel t, an der Spitze den Au§enwinkel t + 60¡. Die Summe der drei Au§enwinkel ist 3t + 60¡. Andererseits ist bei einem Dreieck (allgemein bei einem Polygon mit der Umlaufszahl 1) die Summe der Au§enwinkel 360¡ (volle RichtungsŠnderung bei einem Umlauf). Damit erhalten wir:

 

                                                           3t + 60¡ = 360¡

 

                                                                 t = 100¡

 

Das Resultat ist schšn, aber ungewohnt. Ich habe bis anhin noch nie einen Winkel von 100¡ angetroffen.

7           Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Ein Winkel von 100¡ kann nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Falls nŠmlich ein Winkel von 100¡ mit Zirkel und Lineal konstruierbar wŠre, dann auch dein Winkel von 100¡ – 60¡ = 40¡. Das ist aber der Zentriwinkel eines regelmŠ§igen Neuneckes, das mithin auch mit Zirkel und Lineal konstruierbar wŠre. Dies widerspricht aber einem Satz von Gau§ Ÿber die Konstruierbarkeit regelmŠ§iger Vielecke.

8           Aufwickeln zum Quadrat und zum FŸnfeck

Beim Quadrat und beim regelmŠ§igen FŸnfeck gibt es ebenfalls Kollisionspunkte.

Aufwickeln zum Quadrat

Aufwickeln zum FŸnfeck

9           Aufwickeln zum WŸrfel

Wir beginnen mit der ãschšnenÒ WŸrfelabwicklung.

ãSchšneÒ WŸrfelabwicklung

Im Folgenden einige Schritte des Aufwickelns. Wir beginnen in der Ebene.

Start in der Ebene

Nun drehen wir wie bei den Gelenkmodellen so, dass die Au§enwinkel bei aneinander sto§enden Quadraten immer gleich gro§ sind. Statt Gelenkpunkte haben wir nun Gelenkachsen, insgesamt fŸnf. Die folgende Abbildung zeigt die Situation nach Drehungen um 15¡.

Drehungen um 15¡

Anschlie§end weitere Schritte.

Drehungen um 30¡

Drehungen um 45¡

Drehungen um 60¡

Drehungen um 75¡

Drehungen um 90¡

10       Weg auf der OberflŠche

Wir zeichnen einen geraden (blauen) Weg auf der Abwicklung ein.

Blaue Gerade auf der Abwicklung

Durch das Drehen wird die blaue Gerade geknickt.

Drehungen um 30¡

Drehungen um 60¡

Drehungen um 90¡

Die blaue Gerade wird zu einem gleichmŠ§ig geknickten Polygonzug. Wir vermuten, dass er immer in einer Ebene liegt. Dies dŸrfte schon aus SymmetriegrŸnden klar sein, kann aber auch durch eine Plexiglasscheibe kontrolliert werden.

Drehungen um 30¡

Drehungen um 60¡

Beim aufgewickelten WŸrfel erhalten wir ein ebenes regelmŠ§iges Sechseck.

11       Kollision mit dem WŸrfel

Die PhŠnomene der Kollision und Durchdringung gibt es auch hier.

Aufwickeln zum WŸrfel

Drehungen um 30¡

Drehungen um 60¡

Drehungen um 70¡. Jetzt kommtÕs

Drehungen um 75¡

12       ZurŸck zum Anfang: Wozu passen die Abwicklungen?

Zu welchen Kšrpern passen die Abwicklungen?

12.1  Kepler-Stern

Die obere Abwicklung passt zum Kepler-Stern.

Kepler-Stern

In der folgenden Abbildung sind SeitenflŠchen, welche in derselben Ebene liegen, mit derselben Farbe versehen.

Ebenenkonsistente FŠrbung

Die folgende Abbildung zeigt die entsprechend gefŠrbte Abwicklung.

Zugehšrige Abwicklung

12.2  Stern mit sechs Spitzen

Wenn wir auf jeder SeitenflŠche eines WŸrfels eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als SeitenflŠche aufbauen, erhalten wir einen Stern mit sechs Spitzen. Dieser hat die Abwicklung der folgenden Figur.

Abwicklung des Sterns mit sechs Spitzen

Stern mit sechs Spitzen

Literatur

Walser, Hans (2018): Der WŸrfel. Ansichten – Dimensionen – Modelle. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2018. ISBN 978-3-95922-102-3.

 

Weblinks

Hans Walser: Dreiecksaufwicklung

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dreiecksaufwicklung/Dreiecksaufwicklung.htm

 

Hans Walser: FahnenwŸrfel

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fahnenwuerfel/Fahnenwuerfel.htm

 

Hans Walser: Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve/Herzkurve.htm

 

Hans Walser: Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve2/Herzkurve2.htm

 

Hans Walser: Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve3/Herzkurve3.htm

 

Hans Walser: Herzkurve und die Mšndchen des Hippokrates

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve_u_Hippokrates/Herzkurve_u_Hippokrates.htm

 

Hans Walser: Herzkurven

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurven/Herzkurven.htm

 

Hans Walser: Kepler-Stern und verwandter Stern

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kepler-Stern/Kepler-Stern.htm

 

Hans Walser: Klebelaschen

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Klebelaschen/Klebelaschen.htm

 

Hans Walser: Klebelaschen 2

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Klebelaschen2/Klebelaschen2.htm

 

Hans Walser: Netz

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/N/Netz/Netz.htm

 

Hans Walser: WŸrfelabwicklungen

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelabwicklungen/Wuerfelabwicklungen.htm