Hans Walser

Aufwickeln und Abwickeln

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111. MNU-Bundeskongress 15.-18.04.2020 in Bingen

Zusammenfassung: Beispiele von wenig bekannten Abwicklungen. Diskussion zum Begriff „Netz“. Minimale Anzahl Klebelaschen. Aufwickeln zu Kreis und Dreieck. Mechanische Modelle. Das Rad auf dem Rad und die Fourier-Entwicklung. Hundekurve und Parametertransformation. Winkeldrittelung. Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal. Aufwickeln zum Würfel. Roboter mit fünf bewegten Drehachsen.

Letzte Änderung: 16. Januar 2020

1 Wozu passen die Abwicklungen?

Zu welchen Körpern passen die Abwicklungen?

Beide Abwicklungen bestehen aus 24 Dreiecken. Das Ikosaeder kommt also nicht in Frage. Gehören die beiden Abwicklungen zum selben Körper? Beim unteren Beispiel ist irritierend, dass sechs Dreiecke an einer Ecke zusammenkommen. Ist das im nicht-ebenen Fall möglich?

Das obere Beispiel kann unterteilt werden in sechs Tetraederabwicklungen. Tatsächlich können wir die Abwicklung sechslagig (Problem mit der Papierdicke) auf ein Tetraeder aufwickeln.

Sechsfache Tetraederabwicklung

Wir sehen darin aber auch eine dreifache Oktaederabwicklung.

Dreifache Oktaederabwicklung

2 Abwicklungen des Würfels

Die Würfelabwicklungen sind uns vertraut.

Die elf Würfelabwicklungen

In der Schule ist es üblich, nach der Position der Klebelaschen zu fragen. Ein einfacher Trick besteht darin, an jeder zweiten Kante eine Klebelasche anzubringen (Reißverschlusstechnik).

Wir können auch nach der Minimalzahl an Klebelaschen fragen, so dass das Würfelmodell gerade noch stabil ist.

Das Experiment an realen Abwicklungen zeigt:

· Neun der elf Abwicklungen benötigen zwei Klebelaschen. In der folgenden Abbildung sind das die ersten neun Abwicklungen. Die Lösungen sind exemplarisch, es gibt noch andere. Kanten, die mit einer Klebelasche verbunden werden müssen, sind in gleicher Farbe angegeben. Bei zwei roten Kanten muss also an einer der beiden roten Kanten eine Klebelasche angebracht werden, die dann mit der anderen roten Kante verklebt werden kann. Analog für zwei blaue Kanten.

· Die beiden letzten Abwicklungen kommen mit einer einzigen Klebelasche aus.

Lösung

Die beiden letzten Abwicklungen lassen sich je zu einem (unendlich langen) Bandornament fortsetzen.

Bandornamente

Ein solches Bandornament lässt sich (unendlich dünnes Material vorausgesetzt) (unendlich oft) auf einen gegebenen Würfel aufwickeln, ohne dass abstehende Ohren entstehen. Wir können das Ornament als Getriebekette verwenden.

Kettengetriebe. Würfel als Zahnrad

3 Netz?

In der Schule wird oft der Ausdruck „Würfelnetz“ verwendet. So steht es sogar im Lehrplan. Sinnvoll ist das nicht, denn in der Alltagssprache bedeutet „Netz“ meist ein System aus Knoten und Verbindungen.

Beispiele:

Sammelnetz: Spinnennetz, Fischernetz, Einkaufsnetz, Gepäcknetz, Haarnetz

Verteilnetz: Versorgungsnetz, Verkehrsnetz, Stromnetz, Wassernetz, Gasnetz

Kommunikationsnetz: Internet, Telefonnetz, soziales Netz

Koordinatennetz

Im folgenden Beispiel stimmt das System der Knoten und Verbindungen nicht mit der Realität überein.

Welche Kanten führen zum blauen Punkt?

Die folgenden sprachlich korrekten Würfelnetze geben Auskunft über die Topologie des Würfels, sind aber keine Schnittmuster oder Abwicklungen.

Würfelnetze

4 Aufwickeln zum Kreis

4.1 Straffer Faden

Die Abbildung zeigt die verschiedenen Stadien des Aufwickelns.

Aufwickeln mit straff gespanntem Faden

Die Bahnkurve des Fadenendes ist eine Evolvente des Kreises.

Evolvente

4.2 Lockerer Faden

Der Faden ist nun nicht mehr gespannt, sondern jeweils gleichmäßig gekrümmt, also ein Kreisbogen.

Gleichmäßig gekrümmt

Die Bahnkurve der Fadenenden ist eine Art halbe Herzkurve, aber nicht die offizielle Kardioide.

Halbe Herzkurve

5 Aufwickeln zum Dreieck

Wir arbeiten mit einem gleichmäßig geknickten Gelenkmodell. Die Außenwinkel sind jeweils konstant.

Gleichmäßig geknicktes Gelenkmodell

Das Abknicken kann mit einem mechanischen Modell realisiert werden.

Mechanisches Modell

Die folgende Abbildung zeigt die verschiedenen Stadien des Aufwickelns.

Aufwickeln

Die Bahnkurven der Gelenke und Endpunkte sind Kreise und Kreisüberlagerungen.

Bahnkurven

6 Kollision

Wir erkennen an der Dreiecksspitze, dass die Gelenkstäbe diese teilweise überschneiden. Wo findet die Kollision statt?

Kollision

Das blaue Dreieck ist gleichschenklig. Wir rechnen nun mit den Außenwinkeln dieses Dreieckes. An der Basis haben wir je den Außenwinkel t, an der Spitze den Außenwinkel t + 60°. Die Summe der drei Außenwinkel ist 3t + 60°. Andererseits ist bei einem Dreieck (allgemein bei einem Polygon mit der Umlaufszahl 1) die Summe der Außenwinkel 360° (volle Richtungsänderung bei einem Umlauf). Damit erhalten wir:

3t + 60° = 360°

t = 100°

Das Resultat ist schön, aber ungewohnt. Ich habe bis anhin noch nie einen Winkel von 100° angetroffen.

7 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Ein Winkel von 100° kann nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Falls nämlich ein Winkel von 100° mit Zirkel und Lineal konstruierbar wäre, dann auch dein Winkel von 100° – 60° = 40°. Das ist aber der Zentriwinkel eines regelmäßigen Neuneckes, das mithin auch mit Zirkel und Lineal konstruierbar wäre. Dies widerspricht aber einem Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit regelmäßiger Vielecke.

8 Aufwickeln zum Quadrat und zum Fünfeck

Beim Quadrat und beim regelmäßigen Fünfeck gibt es ebenfalls Kollisionspunkte.

Aufwickeln zum Quadrat

Aufwickeln zum Fünfeck

9 Aufwickeln zum Würfel

Wir beginnen mit der „schönen“ Würfelabwicklung.

„Schöne“ Würfelabwicklung

Im Folgenden einige Schritte des Aufwickelns. Wir beginnen in der Ebene.

Start in der Ebene

Nun drehen wir wie bei den Gelenkmodellen so, dass die Außenwinkel bei aneinander stoßenden Quadraten immer gleich groß sind. Statt Gelenkpunkte haben wir nun Gelenkachsen, insgesamt fünf. Die folgende Abbildung zeigt die Situation nach Drehungen um 15°.

Drehungen um 15°

Anschließend weitere Schritte.

Drehungen um 30°

Drehungen um 45°

Drehungen um 60°

Drehungen um 75°

Drehungen um 90°

10 Weg auf der Oberfläche

Wir zeichnen einen geraden (blauen) Weg auf der Abwicklung ein.

Blaue Gerade auf der Abwicklung

Durch das Drehen wird die blaue Gerade geknickt.

Drehungen um 30°

Drehungen um 60°

Drehungen um 90°

Die blaue Gerade wird zu einem gleichmäßig geknickten Polygonzug. Wir vermuten, dass er immer in einer Ebene liegt. Dies dürfte schon aus Symmetriegründen klar sein, kann aber auch durch eine Plexiglasscheibe kontrolliert werden.

Drehungen um 30°

Drehungen um 60°

Beim aufgewickelten Würfel erhalten wir ein ebenes regelmäßiges Sechseck.

11 Kollision mit dem Würfel

Die Phänomene der Kollision und Durchdringung gibt es auch hier.

Aufwickeln zum Würfel

Drehungen um 30°

Drehungen um 60°

Drehungen um 70°. Jetzt kommt’s

Drehungen um 75°

12 Zurück zum Anfang: Wozu passen die Abwicklungen?

Zu welchen Körpern passen die Abwicklungen?

12.1 Kepler-Stern

Die obere Abwicklung passt zum Kepler-Stern.

Kepler-Stern

In der folgenden Abbildung sind Seitenflächen, welche in derselben Ebene liegen, mit derselben Farbe versehen.

Ebenenkonsistente Färbung

Die folgende Abbildung zeigt die entsprechend gefärbte Abwicklung.

Zugehörige Abwicklung

12.2 Stern mit sechs Spitzen

Wenn wir auf jeder Seitenfläche eines Würfels eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenfläche aufbauen, erhalten wir einen Stern mit sechs Spitzen. Dieser hat die Abwicklung der folgenden Figur.