Hans Walser

Arbeitskreis Geometrie

Herbsttagung 14. – 16. September 2012, Saarbrücken

Tagungsthema: Begriffsbilden im Geometrieunterricht

Vergessene Vierecke

Zusammenfassung

Es werden drei Vierecke vorgestellt, die im üblichen Begriffskanon, etwa dem Haus der Vierecke, offenbar vergessen worden sind. Sie haben nicht einmal einen Namen. Eines der drei Vierecke hat Beziehungen zu Pythagoras (Quadratsummen), Briefumschlägen, Faltgeometrie und Wegoptimierung im Viereck.

1 Drei Fragen und eine Lehrerfrage

· Aus welchen Vierecken lässt sich ein Briefumschlag falten?

· In welchem Viereck ist ?

· In welchem Viereck hat es zwei gleich lange optimale Wegenetze? (Abb.1)

Abb. 1: rot = blau?

· Lehrerfrage: In welchem Viereck sind die beiden Mittenlinien gleich lang?

2 Klassische Beispiele von Begriffssystemen

· Ein Viereck ist ein Viereck ist ein Viereck: Das Haus der Vierecke zur Begriffsbildung und als Kanon? — Es kann bei Schülerinnen und Schülern den Anschein einer vollständigen Übersicht erwecken, eines Kanons, außerhalb desselben nicht mehr zulässig ist.

· Carl von Linné: Systema naturae

· Mendelejew: Periodensystem

· IUC notation: Bandornamente

· Benjamin Samuel Bloom: Lernzieltaxonometrie

Begriffssysteme sollten erst eingeführt werden, wenn sie sich von der Sache her aufdrängen.

3 Kindersprache und Schulsprache

Kindersprache: Viereck, Langeck

Schulsprache: Quadrat, Rechteck

Kindersprache: Dornröschen, Stachelbeeren

Schulsprache: Die Rosen haben Stacheln, die Stachelbeerbüsche haben Dornen.

4 Orthogonale Diagonalen

Das Viereck mit orthogonalen Diagonalen ist die allgemeine Lösung zu den Eingangsfragen.

4.1 Mittenlinien

Bei einem beliebigen Viereck ist das Seitenmittenviereck ein Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Diagonalen liegen. Die Mittenlinien sind die Diagonalen dieses Parallelogramms.

Abb. 2: Seitenmittenparallelogramm ein Rechteck

Genau bei orthogonalen Diagonalen ist das Seitenmittenparallelogramm ein Rechteck und seine Diagonalen sind gleich lang (Abb. 2).

In diesem Fall ist der Flächeninhalt des Viereckes das halbe Produkt der beiden Diagonalenlängen.

4.2 Briefumschlag

Aus welchen Vierecken lässt sich ein Briefumschlag falten?

Sicher geht es bei einem Rhombus: Wenn wir die vier Ecken in die Mitte einfalten, entsteht ein Briefumschlag (von den Klebefalzen wird abgesehen).

Gibt es andere Papier-Vierecke, mit denen sich überlappungsfrei und lückenlos ein Briefumschlag herstellen lässt?

Ist dies insbesondere mit einem Rechteck möglich?

Jedenfalls können wir einen Briefumschlag falten, wenn die Diagonalen des ursprünglichen Papier-Viereckes orthogonal sind (Abb. 3). Der Umriss des Briefumschlages ist das Kantenmittenrechteck.

Abb. 3: Viereck mit orthogonalen Diagonalen

Die Ecken des Papier-Viereckes kommen im Diagonalenschnittpunkt zusammen. Geht es auch, wenn die Diagonalen nicht orthogonal sind?

4.3 Alternierende Quadratsumme

Abb. 4: rot = blau

Bei orthogonalen Diagonalen ergeben sich im Viereck vier rechtwinklige Dreiecke. Bei alternierender Anwendung des Satzes von Pythagoras neutralisieren sich die Kathetenquadrate.

4.4 Wegenetze im Viereck

Wir treffen die etwas naive Annahme, dass der Ausbaustandard unabhängig vom (erwarteten) Verkehrsaufkommen ist. Die grüne Verbindungsstrecke zwischen den beiden Verzweigungspunkten (Abb. 5) soll also gleich wie die anderen Strecken gebaut werden, obwohl es sinnvoll wäre, diesen Flaschenhals etwas breiter (und zur Kostonoptimierung etwas kürzer) zu bauen.

4.4.1 Beliebige Wegenetze

Wie kann die gesamte Länge eines beliebigen Wegenetzes (Abb. 5) in einem allgemeinen Viereck visualisiert werden?

Abb. 5: Wegenetz im Viereck

Der Trick (oder ist es eine Methode?) besteht darin, geeignete Dreiecke um 60° herauszudrehen (Abb. 6). Dadurch entsteht ein Polygonzug, der gleich lang ist wie das gesamte Wegenetz. Die Endpunkte dieses Polygonzuges sind Ecken von nach außen angesetzten gleichseitigen Dreiecken.

Abb. 6: Gesamtlänge und minimale Gesamtlänge

Diese Endpunkte sind - bei gegebener Netztopologie - invariant; die Minimallänge des gesamten Netzes ergibt sich daher durch die Strecke, welche diese Endpunkte verbindet (Abb. 7).

Abb. 7: Verzweigungspunkte

Die Verzweigungspunkte finden sich dann durch die Umkreise der beiden gleichseitigen Dreiecke, welche auch Ortsbogen für 120° sind.

4.4.2 Die zweite Lösung

Wenn wir die beiden gleichseitigen Dreiecke an den anderen beiden Vierecksseiten aufsetzen, ergibt sich eine zweite Lösung mit einer anderen Netztopologie. Dieses Netz hat in der Regel eine andere Gesamtlänge. Unsere Konstruktionen liefern also nicht in jedem Fall das Minimalnetz, sondern allenfalls bloß ein relatives Minimalnetz, das heißt das Minimalnetz bei gegebener Netztopologie.

4.4.3 Welche Lösung ist die bessere?

Zur Klärung der Frage, welche der beiden Lösungen die bessere ist, genügt es offenbar, an den Vierecksseiten gleichseitige Dreiecke anzusetzen und die Verbindungen gegenüberliegender Außenspitzen zur vergleichen (Abb. 8).

Abb. 8: rot = blau?

Mehr dazu im folgenden Abschnitt.

4.5 Ansetzen von ähnlichen gleichschenkligen Dreiecken

Wir bearbeiten einen allgemeinen Fall, indem wir den Seiten eines beliebigen Vierecks ähnliche gleichschenklige Dreiecke ansetzen, und suchen dann einen Zusammenhang zwischen der roten und der blauen Strecke.

Wir verwenden die Vektoren und Bezeichnungen der Abbildung 9.

Abb. 9: Ansetzen von gleichschenkligen Dreiecken

Die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel . Für positives sind die gleichschenkligen Dreiecke außen anzusetzen, für negatives innen. Für sind die rote und die blaue Strecke Verbindungslinien gegenüberliegender Seitenmitten des Vierecks.

Mit einiger Rechnung finden wir:

Für heißt das folgendes:

Genau wenn die Diagonalen des Viereckes orthogonal sind, haben die rote und die blaue Strecke die gleiche Länge.

Genau wenn die Diagonalen des Viereckes gleich lang sind, stehen die rote und die blaue Strecke rechtwinklig aufeinander.

4.5.1 Orthogonale Diagonalen

Genau wenn die Diagonalen des Viereckes orthogonal sind, haben die rote und die blaue Strecke die gleiche Länge (Abb. 10). Gemäß dem Abschnitt über die alternierende Quadratsumme gilt zudem, dass die Flächensumme der roten gleichschenkligen Dreiecke gleich der Flächensumme der blauen gleichschenkligen Dreiecke ist.

Abb. 10: rot = blau

Genau in den Vierecken mit orthogonalen Diagonalen sind also auch die beiden optimalen Wegenetze gleich lang, was mit gezeigt werden kann.

4.5.2 Gleich lange Diagonalen

Genau wenn die Diagonalen des Viereckes gleich lang sind, stehen die rote und die blaue Strecke rechtwinklig aufeinander (Abb. 11).

Abb. 11: rot senkrecht blau

Dies ist sozusagen die duale Situation zu den Vierecken mit orthogonalen Diagonalen.

5 Der Sonderfall

Wegen

folgt für : Bei einem beliebigen Startviereck sind die rote und die blaue Strecke gleich lang und orthogonal (Abb. 12).

Die Außenecken der Figur bilden also ein Viereck mit orthogonalen und gleich langen Diagonalen. Dies ist ein naher Verwandter des Quadrates.

Abb. 12: Viereck mit orthogonalen und gleich langen Diagonalen

Literatur

[Haag 2003] Haag, Wilfried: Wege zu geometrischen Sätzen. Stuttgart: Klett 2003. ISBN 3-12-720120-6