Hans Walser
Das DIN-Format
36. Fortbildungstagung
fŸr Geometrie
5. bis 7. November
2015
Bundesinstitut fŸr
Erwachsenenbildung St. Wolfgang
Strobl am Wolfgangsee
Zusammenfassung
Das DIN-Format ist mehr als ein StŸck Papier und die Quadratwurzel aus Zwei.
Wir treffen auf Spiralen, Grenzpunkte, Fragen der AbzŠhlbarkeit, das Delische Problem, die gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung, Jakobs Himmelsleiter, das Silberne Rechteck, Faltprobleme und Legespiele nach Fršbel.
Wenn wir ein DIN A4 Papier lŠngs der kurzen Mittellinie falten, ergibt sich ein doppellagiges DIN A5 Papier. Dieses hat nun dieselbe Form (€hnlichkeit), also dieselben SeitenverhŠltnisse wie das DIN A4 Papier, wie durch Anlegen an eine gemeinsame Diagonale nachgeprŸft werden kann.
DIN A4 und DIN A5
Mit der Schmalseite 1 und der Langseite x fŸr das DIN A4 Rechteck erhalten wir aus der €hnlichkeit:
Dieses
SeitenverhŠltnis kann durch Falten nachgeprŸft werden. Dabei benŸtzen wir den
Sachverhalt, dass im Quadrat die Diagonalen-LŠnge das der SeitenlŠnge ist.
Kontrolle durch Falten
Beim
Abschneiden eines Quadrates vom DIN-Rechteck (etwa beim Zuschneiden von
Origami-Papier) bleibt unten ein Rechteck mit dem SeitenverhŠltnis Ÿbrig.
Dies ist das so genannte Silberne
Rechteck. Es hat Šhnliche Eigenschaften wie das Goldene Rechteck (vgl.
Walser 2013).
Wir kšnnen mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ein A0-Rechteck ausschšpfen. Die Rechtecke sind im Wechsel im Quer- und Hochformat.
Ausschšpfung des A0-Rechteckes
Wenn wir die Mitten aufeinanderfolgender Rechtecke verbinden, ergibt sich eine Zickzack-Linie, welche in den Grenzpunkt rechts oben mŸndet.
Wir kšnnen das Set von Rechtecken A1, A2, A3, ... aber auch spiralfšrmig anordnen.
Spiralfšrmige Anordnung
Der Grenzpunkt ergibt sich durch Einzeichnen geeigneter Halbdiagonalen.
Der Grenzpunkt hat ãDrittelkoordinatenÒ.
Drittel bei den Koordinaten
Das kann
wie folgt eingesehen werden: Wenn auf der Hšhe des Grenzpunktes von links her
einfahren, treffen wir nur Hochformat-Rechtecke, und zwar der Reihe nach A4,
A8, A12, A16, ... . Diese haben im angegebenen Koordinatensystem die Breiten ,
,
,
, ... . FŸr die x-Koordinate
des Grenzpunktes ergibt sich daher die geometrische Reihe:
Ein violettes Rechteck der vorstehenden Abbildung hat das SeitenverhŠltnis des DIN-Formates. Es bedeckt einen Neuntel des A0-Rechteks. Welchen DIN-Code hat es?
Dazu vergleichen wir mit den FlŠchenanteilen im DIN-System.
Wir sehen, dass unser violettes Rechteck zwischen A3 und A4 liegt, gefŸhlsmŠ§ig nŠher an A3. Rechnerisch erhalten wir:
Jeder Punkt im Innern oder auf dem Rand des A0-Rechteckes kann Grenzpunkt werden. Dazu verwenden wir folgenden Algorithmus (ãDie Katze schleicht um den hei§en BreiÒ): Wir fŸllen das A0-Rechteck mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... so auf, dass der anvisierte Grenzpunkt nie ins Innere eines Set-Rechteckes gelangt. Die folgende Abbildung zeigt die ersten fŸnf Schritte und die Grenzfigur.
Beliebiger Grenzpunkt
NatŸrlich
wird der Algorithmus ambivalent, wenn der anvisierte Grenzpunkt auf den Rand
eines Set-Rechteckes zu liegen kommt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die x-Koordinate und/oder die y-Koordinate modulo eine abbrechende
Dualbruchentwicklung haben.
In diesem Fall entscheiden wir uns fŸr ãuntenÒ beziehungsweise ãlinksÒ. Dieser Entscheid ist von derselben QualitŠt wie der Entscheid, ein Halbes im Dezimalsystem durch 0.5 und nicht durch 0.4999... darzustellen.
Die folgende Abbildung zeigt die Situation mit dem Grenzpunkt in der Mitte des A0-Rechtecks.
Grenzpunkt in der Mitte
Die Figur ist asymmetrisch, muss es sein, da bei einer Symmetrie im A0-Rechteck jedes Teil doppelt oder vierfach erscheinen mŸsste.
Ein Set
von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ist abzŠhlbar (es ist ja bereits
nummeriert). Es hat die MŠchtigkeit . Da jeder Punkt eines Din A0-Rechteckes Grenzpunkt
sein kann, haben wir fŸr diese Punkte nach unserem Algorithmus die MŠchtigkeit
, da es fŸr jedes Set-Rechteck zwei Positionsmšglichkeiten
gibt.
Gibt es andere Figuren, die in zwei kongruente, zur Ausgangsfigur Šhnliche Teilfiguren zerlegbar sind?
Die Frage ist allgemein gehalten, es ist nicht von Halbieren die Rede, sondern nur von Zerlegen.
Wir kšnnen die DIN-Rechtecke zu Parallelogrammen verscheren.
Parallelogramme
Die Teilparallelogramme sind ungleichsinnig Šhnlich zum Startparallelogramm.
Das naheliegende Beispiel ist das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck. Bei der einfachsten Zerlegung gibt es einen Grenzpunkt unten rechts.
Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck
Es gibt im rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ebenfalls eine spiralfšrmige Anordnung. Der Grenzpunkt fŸhrt zu FŸnfteln.
Spiralfšrmige Anordnung
Die Figur kann auch aus einem halben Origami Papier durch fortlaufendes Falten erreicht werden.
Faltprozess
Faltmodell
Die Thaleskreise der Teildreiecke verlaufen durch den Grenzpunkt, ebenso eine Art ãHalbdiagonalenÒ.
Thaleskreise. Halbdiagonalen
Wird ein
Quader mit dem KantenverhŠltnis halbiert,
ergeben sich zwei Quader mit dem KantenverhŠltnis
. Diese sind Šhnlich zum ursprŸnglichen Quader. Die
folgende Abbildung zeigt einen DIN-Quader mit dem KantenverhŠltnis
im
Vergleich zum EinheitswŸrfel.
DIN-Quader und EinheitswŸrfel
Die folgende Abbildung zeigt eine Anordnung eines DIN-Quader-Sets analog zur klassischen Anordnung eines Sets von DIN-Rechtecken.
Anordnung
WŠhrend bei Rechtecken nur zwischen Querformat und Hochformat unterschieden werden kann, brauchen wir hier drei Anaordnungsformate. Dazu dient das beigefŸgte Koordinatensystem. Der erste Quader hat seine lŠngsten Kanten in der x-Richtung, der zweite Quader hat seine lŠngsten Kante in der y-Richtung und der dritte Quader in der z-Richtung. Der vierte Quader hat seine lŠngsten Kanten wiederum in der x-Richtung.
Die Quader sind in einer Art rŠumlicher Spirale wie bei einer Wasserschnecke angeordnet.
Wasserschnecke
Als Stimmungsbild reale DIN-Quader.
DIN-Kisten
Im vierdimensionalen Raum ergeben sich durch
oder in anderer Schreibweise
die Kanten zweier aufeinanderfolgender 4d-DIN-Hyperquader. George P—lya (1887-1985) hŠtte in dieser Situation allerdings von einer Verallgemeinerung durch VerwŠsserung gesprochen.
George P—lya
Wir verwŠssern weiter zum 12d-DIN-Hyperquader mit den KantenlŠngen
Das hat man im Prinzip schon oft gesehen. Diese Zahlen stecken nŠmlich in den abnehmenden AbstŠnden von GitarrenbŸnden und in den LŠngen von Orgelpfeifen.
Und man kann es darŸber hinaus auch hšren. Es sind die FrequenzverhŠltnisse der von Andreas Werckmeister (1645-1706) angeregten und in Bachs Werk Das Wohltemperierte Klavier demonstrierten gleichstufig temperierten Stimmung. Es ist das ãdemokratischsteÒ aller Stimmsysteme, da es alle Tonarten gleich behandelt und so Modulationen erleichtert.
FŸr das Stimmen eines Klaviers ist diese Theorie gut. Aber nur in erster NŠherung. Ein so gestimmtes Instrument klingt nŠmlich noch keineswegs optimal. Das liegt daran, dass die Klaviersaitenschwingungen generell keine harmonischen Schwingungen sind. Die RŸckstellkraft der Saite ist nŠmlich nicht proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage. Die daraus entstehende ãInharmonizitŠtÒ hat nichts mit fehlerhafter Fertigung zu tun, sondern entsteht durch die Saitensteifigkeit.
Sie fŸhrt dazu, dass beispielsweise der erste Oberton des Kammertons a' = 440 Hz nicht mit 880 Hz schwingt, sondern etwas schneller, nŠmlich beinahe 881 Hz. Man wŸrde es als zu tief und matt empfinden, wenn man die Oktave mathematisch nur auf a'' = 880 Hz stimmen wŸrde. Der Diskant muss je hšher, desto stŠrker ãgespreiztÒ werden, damit der Klang brilliant wird. Der hšchste Klavierton wird etwa 40 Cent hšher gestimmt, als es der mathematischen Theorie entspricht. Der Bass hingegen wird abgesenkt. Auch bei einem guten Instrument ist Klavierstimmung ein StŸck weit Geschmacksache.
Die
Intervallgrš§e von einem Cent entspricht dabei dem Faktor .
Und ihm trŠumte; und siehe, eine Leiter stand auf der
Erde,
die rŸhrte mit der Spitze an den Himmel, und siehe,
die Engel Gottes stiegen daran auf und nieder.
Gen 28, 11
Die Abbildung a) zeigt die ersten Sprossen der Jakobsleiter.
Jakobsleiter
Auf der einen Seite der Leiter steigen die Engel hinauf, auf der anderen Seite hinunter. Damit sie sich nicht gegenseitig auf den FŸ§en herumtreten, haben sie festgelegt, dass die aufsteigenden Engel nur die Sprossen mit ungeraden Nummern verwenden, die absteigenden nur die Sprossen mit geraden Nummern (Abb. b). Damit zerfŠllt die Jakobsleiter in zwei Teil-Jakobsleitern, die zur ursprŸnglichen Jakobsleiter Šhnlich sind (Abb. c) und d). Wir haben also das Prinzip des DIN-Formates.
Der Reduktionsfaktor ist 2. Das Wort Reduktionsfaktor ist syntaktisch richtig, semantisch falsch, da Sprossenhšhne nicht reduziert, sondern verdoppelt wird. Unter dem Aspekt eines Fraktals ergibt sich die Mandelbrot-Dimension D (fraktale Dimension):
Wir kšnnen zu einem DIN-Rechteck an der Schmalseite ein Quadrat ansetzen oder von einem DIN-Rechteck ein Quadrat abschneiden.
Quadrat ansetzen oder Quadrat abschneiden
Die folgende Abbildung zeigt das Summen- und das Differenzrechteck.
Summenrechteck und Differenzrechteck
Wir
erhalten ein Summenrechteck mit dem SeitenverhŠltnis beziehungsweise ein Differenzrechteck mit
dem SeitenverhŠltnis
.
Wegen haben
diese beiden Rechtecke dasselbe SeitenverhŠltnis. Ein solches Rechteck wird mit
dem leicht esoterischen Namen Silbernes
Rechteck bezeichnet, da es einige Eigenschaften Šhnlich denen des Goldenen
Rechtecks mit dem SeitenverhŠltnis des Goldenen Schnittes hat. †ber den
Goldenen Schnitt siehe Walser, Hans (2013).
Wir kšnnen zum Beispiel vom Silbernen Rechteck zwei Quadrate abschneiden. Es bleibt ein Silbernes Restrechteck Ÿbrig.
Zwei Quadrate abschneiden
Der Prozess kann iteriert werden, theoretisch ad infinitum.
Iteration des Abschneidens
Wir kšnnen die Quadrate mit Viertelkreisen fŸllen. So entstehen zwei Spiralen.
Spiralen
Wir kšnnen vier rechtwinklige-gleichschenklige Dreiecke (Geo-Dreiecke) so auslegen, dass ein Silbernes Umrissrechteck und ein Silbernes Lochrechteck entstehen.
Silberne Rechtecke als Umriss und als Loch
Auch dies kann iteriert werden.
Iteration
Die folgende Abbildung zeigt einen Beweis ohne Worte fŸr den Sachverhalt, dass sich die Diagonalen im Silbernen Rechteck unter einem Winkel von 45¡ schneiden.
Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck
Der 45¡-Winkel ist aber auch der Zentriwinkel im regelmŠ§igen Achteck. Daher erscheint das Silberne Rechteck im regelmŠ§igen Achteck.
Silbernes Rechteck im regelmŠ§igen Achteck
FlŠchenmŠ§ig macht das Silberne Rechteck genau die HŠlfte des Achtecks aus. Dies kann mit einem Zerlegungsbeweis eingesehen werden.
Teile-Ganzes-Beziehung
In der folgenden Zerlegung sind beide Silberne Rechtecke gleicherma§en zugeschnitten.
Zerlegungsbeweis
Der Zerlegungsbeweis kann noch subtiler gemacht werden, so dass ein Stern erscheint. Die Zerlegung des Achteckes hat von der Farbe abgesehen dieselben Symmetrien wie das Achteck selber.
Zerlegungsbeweis mit Stern
Das Beispiel erinnert an die Legespiele nach Fršbel.
Fršbel-Stern
Weitere Zerlegungsbeweise zu diesem Thema siehe Link.
Wenn wir beim Stern zusŠtzlich zwei rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke ansetzen passt die Figur in ein DIN-Rechteck.
Einpassen ins DIN-Rechteck
Auf Grund dieser Figur kann aus einem DIN-Rechteck ein regelmŠ§iges Achteck durch Falten hergestellt werden. Die folgende Abbildung illustriert den Faltprozess.
Falten eines Achteckes
Faltmodell
NatŸrlich kšnnen wir auch mit einem anderen Papier-Rechteck diesen Faltprozess durchfŸhren. Wir erhalten dann ein zwar gleichwinkliges, aber nicht gleichseitiges Achteck. Die folgende Abbildung zeigt die Situation fŸr das US Letter Format.
US Letter
Literatur
Walser, Hans (6. Auflage). (2013). Der Goldene Schnitt. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.
Link
Zerlegungsbeweise:
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Achteck2/Achteck2.pdf