Hans Walser

Workshop: Falten im DIN-Format

36. Fortbildungstagung für Geometrie

5. bis 7. November 2015

Bundesinstitut für Erwachsenenbildung St. Wolfgang

Strobl am Wolfgangsee

Zusammenfassung: Ebene und räumliche Faltprobleme und Faltmodelle, die nur mit Papier im DIN-Format möglich sind. Insbesondere regelmäßiges Achteck sowie Kantenmodelle von Würfel und Tetraeder.

Material und Werkzeuge:

· Papier (75 – 90 g/m²), Formate A4 und A6, verschiedene Farben

· Tacker (Klammermaschine, Bostitch) und Reserveklammern

1 Würfel und Tetraeder

1.1 Kantenmodell des Würfels

Als Baumaterial dient Papier im DIN A6-Format. Geeignet ist Papier der Stärke 80 g/m², das vom Format A4 auf A6 zugeschnitten wird. Ebenfalls geht es mit dünnen Karteikarten.

Für jede Kante braucht es ein Papier.

Für den Faltprozess verwenden wir eine etwas festere A6-Karte als Faltlehre. Wir legen diese Faltlehre diagonal auf ein A6-Papier und falten die vorstehenden Ecken des darunterliegenden Papiers nach vorne über die Faltlehre. Dann entfernen wir die Faltlehre. Der Umriss des Papiers ist nun ein Rhombus mit dem spitzen Winkel .

Faltvorgang

Nun falten wir die untere Spitze des Rhombus nach hinten unter die obere Spitze. Diese letzte Faltlinie wird zu einer Kante des Würfels. Was an dieser Kante noch vorsteht, kann zurückgebogen oder abgeschnitten werden. Damit haben wir unser Bauteil. Es hat die Form eines doppellagigen gleichschenkligen Dreiecks mit zwei Verbindungslaschen zum Einschieben in die Nachbarteile.

Die folgende Abbildung zeigt ein geöffnetes Bauteil von innen. Die Spitzen der beiden Rhomben-Hälften müssen vor dem Zusammenbau des Modells noch aufeinander gelegt werden. Diese Spitzen kommen alle in den Mittelpunkt des Würfels zu liegen. Die Seiten der Rhomben werden zu halben Raumdiagonalen des Würfels.

Wir benötigen 12 Bauteile. Beginnend mit drei verschieden farbigen A4-Papieren, die wir zu A6-Papieren vierteln, erhalten wir drei Sätze von je vier gleichfarbigen Bauteilen. Damit können wir den jeweils vier parallelen Würfelkanten dieselbe Farbe zuordnen.

Bauteil

Und nun kommt das Interessante, der Zusammenbau. Wir schieben jeweils eine Verbindungslasche zwischen die beiden gleichschenkligen Dreiecke des Nachbarbauteils. Dabei achten wir darauf, dass an jeder halben Raumdiagonale des Würfels drei Bauteile in den drei verschiedenen Farben zusammen kommen. Parallele Würfelkanten haben dieselbe Farbe.

Kantenmodell des Würfels

Es empfiehlt sich, den Zusammenbau schrittweise mit Büroklammern zu fixieren. An jeder Ecke des Würfels ergeben sich schließlich drei Büroklammern.

Wenn alles sitzt, können die Büroklammern schrittweise entfernt und durch eine Heftklammer mit dem Tacker ersetzt werden. Dabei hat man den Ehrgeiz, dass die Klammern symmetrisch eingebracht werden.

1.2 Kantenmodell des Tetraeders

Beim regelmäßigen Tetraeder haben wir den Ergänzungswinkel von auf 180°, also 109.4712°, als Winkel zwischen den vom Zentrum aus zu den Ecken verlaufenden Strecken. Daher kann analog zum Kantenmodell des Würfels ein Kantenmodell des Tetraeders gebaut werden.

Kantenmodell des Tetraeders

2 Das Silberne Rechteck und das Achteck

Silberne Rechtecke erhalten wir als „Abfall“, wenn wir von DIN A4-Papier quadratisches Origami-Papier abschneiden (Walser 2013).

2.1 Diagonalenschnittwinkel

Die folgende Abbildung zeigt einen Beweis ohne Worte für den Sachverhalt, dass sich die Diagonalen im Silbernen Rechteck unter einem Winkel von 45° schneiden.

Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck

Der 45°-Winkel ist auch der Zentriwinkel im regelmäßigen Achteck. Wir können daher vier silberne Rechtecke übereck zu einem Achteck zusammenfügen.

Achteck aus Silbernen Rechtecken

2.2 Falten eines regelmäßigen Achtecks

Ein regelmäßiges Achteck kann aus einem DIN-Papier durch Falten hergestellt werden.

Falten eines Achteckes

Faltmodell

Natürlich können wir auch mit einem anderen Papier-Rechteck diesen Faltprozess durchführen. Wir erhalten dann ein zwar gleichwinkliges, aber nicht gleichseitiges Achteck. Die folgende Abbildung zeigt die Situation für das US Letter Format.

US Letter

3 Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck

Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck kann wie ein Rechteck im DIN-Format in zwei zur Ausgangsfigur ähnliche Teile zerlegt werden.

Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck

Es gibt im rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ebenfalls eine spiralförmige Anordnung. Der Grenzpunkt führt zu Fünfteln.

Spiralförmige Anordnung

Die Figur kann auch aus einem halben Origami Papier durch fortlaufendes Falten erreicht werden.

Faltprozess

Faltmodell

Die Thaleskreise der Teildreiecke verlaufen durch den Grenzpunkt, ebenso eine Auswahl von Seitenhalbierenden.

Thaleskreise. Seitenhalbierende

Literatur

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.