Hans Walser

 

 

 

 

Puzzles

 

Mathematik und Schule

Mi, 16. Dezember 2015, Mainz

Mathematisches Institut der Johannes Gutenberg UniversitŠt Mainz

16:15-17:45 Uhr, Raum 05-432 (Hilbertraum)

 

Zusammenfassung

Es kommen verschiedene Aspekte der Zerlegungsgleichheit zur Sprache: Varianten zu Pythagoras, Gegensatz von Methode und KreativitŠt, Fragen der Beweiskraft, ein Hilbertsches Problem, Symmetrie, Optimierung, rationale und irrationale Rechtecke, Mustererkennung, Farben und €sthetik.

1        Der Klassiker

Die Abbildung 1 zeigt einen klassischen Zerlegungsbeweis des Satzes von Pythagoras.

 

Abb. 1: Klassischer Zerlegungsbeweis zu Pythagoras

 

2        Aufsetzen von Dreiecken und Vielecken

Nun gilt der Satz von Pythagoras aber auch, wenn wir zum Beispiel regelmŠ§ige Dreiecke an den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks ansetzen (Abb. 2).

 

Abb. 2: Zyan = Magenta

 

Die Abbildung 3 zeigt eine passende Zerlegung.

 

Abb. 3: Zerlegung

 

Statt Dreiecke kšnnen wir beliebige regelmŠ§ige Vielecke ansetzen (Abb. 4 bis 8).

 

Abb. 4: FŸnfecke

 

Abb. 5: Sechsecke

 

Abb. 6: Siebenecke

 

Abb. 7: Achtecke

 

Wir erkennen ein einheitliches Muster. NatŸrlich kšnnen wir auch Quadrate nach diesem Muster ansetzen (Abb. 8).

 

Abb. 8: Quadrate

 

Die Figur hat einige Verwandtschaft mit dem Klassiker der Abbildung 1.

3        Pythagoreische Dreiecke

Pythagoreische Dreiecke sind besonders einfach. Wir illustrieren das am Beispiel des so genannten ãLehrerdreiecksÒ mit dem SeitenverhŠltnis 3:4:5.

ZunŠchst kšnnen wir die angesetzten regelmŠ§igen Dreiecke durch kongruente kleine regelmŠ§ige Dreiecke ausschšpfen (Abb. 9). Dabei wird man wohl versuchen, eine kombinatorisch ãschšneÒ FŠrbung zu erreichen.

 

Abb. 9: Das Lehrerdreieck

 

Wir kšnnen die kleinen Dreiecke zu grš§eren Figuren zusammenfassen (Abb. 10).

 

Abb. 10: Grš§ere Puzzle-Teile

 

Wird auf Symmetrie verzichtet, kann die Anzahl der Teile noch mehr eingeschrŠnkt werden (Abb. 11).

 

Abb. 11: Asymmetrische Lšsung

 

4        Quadrat und Dreieck

Ein Quadrat und ein flŠchengleiches Dreieck sind zerlegungsgleich. Die Abbildung 12 zeigt eine klassische Zerlegung (Dudeney, 1903).

 

Abb. 12: Quadrat und Dreieck

 

Das Beispiel lŠsst sich als Gelenkmodell darstellen (Abb. 13).

 

Abb. 13: Gelenkmodell

 

Die Abbildung 14 zeigt eine weniger elegante Lšsung, dafŸr ist die Basislinie des Dreieckes parallel zu der des Quadrates.

 

Abb.14: Quadrat und Dreieck

 

Die Teile in der hšhenmŠ§ig oberen HŠlfte des Dreieckes mŸssen beim Einpassen in das Quadrat um 180¡ gedreht werden (Punktspiegelung). Die Ÿbrigen Teile kšnnen parallel verschoben werden.

Im Beispiel der Abbildung 15 muss nur das rote Dreieck auf die Spitze gestellt werden.

 

Abb. 15: Das rote Teil muss umgedreht werden

 

Im Beispiel der Abbildung 16 mŸssen die Teile in der rechten HŠlfte des Dreieckes vor dem Einpassen ins Quadrat umgewendet werden.

 

Abb. 16: Umwenden erforderlich

 

5        Zerlegungsgleichheit und FlŠchengleichheit

Zerlegungsgleiche Figuren sind trivialerweise flŠchengleich. Man kann umgekehrt zeigen, dass flŠchengleiche Polygone auch zerlegungsgleich sind (Satz von W. Wallace - F. W. Bolyai (1832) – P. Gerwien (1833)). Insbesondere sind ein Quadrat und ein flŠchengleiches gleichseitiges Dreieck zerlegungsgleich (Abb. 12 bis 16).

Eine analoge Aussage gilt im Raum nicht. Zwar sind zerlegungsgleiche Polyeder natŸrlich volumengleich, aber umgekehrt sind volumengleiche Polyeder nicht immer zerlegungsgleich. Insbesondere sind ein WŸrfel und ein volumengleiches regelmŠ§iges Tetraeder (Abb. 17) nicht zerlegungsgleich.

 

Abb. 17: WŸrfel und Tetraeder

 

Die Frage der Zerlegungsgleichheit von Tetraedern wurde von Hilbert als drittes Problem gestellt und von M. W. Dehn (1902) beantwortet. B. F. Kagan (1903) vereinfachte den Beweis. H. Hadwiger (1954) gab eine Verallgemeinerung auf hšhere Dimensionen.

 

Abb. 18: David Hilbert (1862-1943)

 

Weitere Bearbeitungen gehen auf D. Benko (2007) und W. Ch. Wittmann (2012) zurŸck.

6        Zerlegungsgleiche Dreiecke und Polygone

Das Grundverfahren bei FlŠchenumformungen besteht darin, Dreiecke mit gleicher Hšhe und gleicher Grundlinie zu bearbeiten. Die Abbildung 19 zeigt, wie das mit Zerlegungen bewerkstelligt werden kann.

 

Abb. 19: Zerlegungsgleiche Dreiecke

 

Sind mehrere Schritte dieser Art erforderlich, ist die bisherige Unterteilung jeweils weiter zu unterteilen. Dies fŸhrt bald einmal zu einer gro§en Anzahl von Puzzle-Teilen. Die Abbildung 20 zeigt eine Illustration des Kathetensatzes. Dabei wurde darauf geachtet, dass die beiden Kathetenquadrate wie auch die beiden Hypotenusenrechtecke jeweils punktsymmetrisch zerschnitten werden.

 

Abb. 20: Kathetensatz

 

Es ist mir nicht gelungen, bei der FŠrbung mich auf vier Farben zu beschrŠnken. Die Schwierigkeit besteht darin, dass jedes Puzzleteil an zwei Orten vorkommt. Man muss also sozusagen auf zwei Hochzeiten gleichzeitig tanzen.

7        Anzahl Farben

Die Abbildung 21 gibt ein einfaches Beispiel, bei welchem zwingend fŸnf Farben benštigt werden.

 

Abb. 21: FŸnf Farben

 

FŸr die Figur links wŸrden gemŠ§ dem Vierfarbensatz vier Farben reichen, man kšnnte das hellblaue Rechteck ebenfalls gelb fŠrben. Das ist aber nicht kompatibel mit der Figur rechts, weil wir dann zwei gelbe Teile mit gemeinsamer Kante hŠtten. Umgekehrt kšnnt man in der Figur rechts das grŸne (oder das rote) Rechteck gelb fŠrben, was aber mit der Figur links nicht kompatibel ist.

8        Technisches

FŸr das Zeichnen habe ich gute Erfahrungen gemacht mit einer Grafiksoftware, welche Ÿber einen Vertex-snapper verfŸgt. Das hei§t, man kann Puzzleteile verschieben, bis ein Eckpunkt an einem Eckpunkt eines anderen Puzzleteils einrastet.

9        Optimierung

Zu flŠchengleichen Polygonen gibt es verschiedene gemeinsame Zerlegungen. Das folgende Beispiel soll Vor- und Nachteile verschiedener gemeinsamer Zerlegungen illustrieren.

Wir bearbeiten ein regelmŠ§iges Dreieck und ein dazu flŠchengleiches regelmŠ§iges Sechseck.

Diese Figuren kšnnen zunŠchst wie folgt gefunden werden. Wir gehen von einer regelmŠ§igen Kreisteilung in zwšlf Teile aus und ergŠnzen zu Dreieck und Sechseck gemŠ§ Abbildung 22.

 

Abb. 22: Dreieck und Sechseck

 

Wenn wir vom Einheitskreis ausgehen, hat das Dreieck einen Inkreisradius  (Abb. 23) und damit eine SeitenlŠnge . FŸr den FlŠcheninhalt ergibt sich .

 

Abb. 23: FlŠchenberechnung

 

Das Sechseck hat den Umkreisradius 1 und damit ebenfalls den FlŠcheninhalt .

Die Abbildung 24 zeigt nun eine gemeinsame Zerlegung.

 

Abb. 24: Gemeinsame Zerlegung

 

Unter der Website Zerlegungsgleichheit finden wir eine andere Zerlegung (Abb. 25). Dies ist die beste bis anhin bekannte Zerlegung.

 

Abb. 25: Zweite Zerlegung

 

Nachfolgend eine GegenŸberstellung der beiden Zerlegungen.

 

Zerlegung

Abbildung 24

Abbildung 25

Anzahl Teile total

9

5

Anzahl Formen

2 bzw. 3 je nachdem, ob spiegelbildliche Formen separat gezŠhlt werden

5

Anzahl Farben

3

3

Symmetrie

Zyklische Symmetrie

Keine Symmetrie

 

Die Zerlegung der Abbildung 24 benštigt insgesamt mehr Puzzleteile, kommt aber mit weniger Puzzleformen aus. Zudem haben die Zerlegungen sowohl des Dreieckes wie des Sechseckes eine zyklische Symmetrie.

10    Achteck

Wir kšnnen von einem DIN A4-Papier ein Quadrat abschneiden, und dann bleibt unten ein Rechteck Ÿbrig (das sogenannte Silberne Rechteck). Aus vier solchen kreuzweise und diagonal Ÿbereinandergestapelten Rechtecken ergibt sich ein regelmŠ§iges Achteck (Abb. 26). †ber die Geometrie im DIN-Format siehe (Walser 2013a).

 

Abb. 26: Silbernes Rechteck und regelmŠ§iges Achteck

 

Das Silberne Rechteck hat dabei genau den halben FlŠcheninhalt wie das aus ihm konstruierte Achteck (Abb. 27).

 

Abb. 27: Halber FlŠcheninhalt

 

Die Abbildungen 28, 29, und 30 geben Zerlegungsbeweise dazu.

 

Abb. 28: Simpler Zerlegungsbeweis

 

Abb. 29: Symmetrischer Zerlegungsbeweis

 

Abb. 30: Zerlegungsbeweis

 

11    RegelmŠ§ige Vielecke gerader Eckenzahl

Bei regelmŠ§igen Vielecken gerader Eckenzahl gelten die in der Abbildung 31 angedeuteten FlŠchenbeziehungen.

 

           

 

           

 

           

Abb. 31: FlŠchenbeziehungen

Diese Beziehungen lassen sich durch Nachrechnen verifizieren. FŸr ein 2m-Eck erhalten wir einerseits den gesamten FlŠcheninhalt

 

                                                                                      (1)

 

und andererseits fŸr das Rechteck den FlŠcheninhalt:

 

                                                                                       (2)

 

Somit ergibt sich das FlŠchenverhŠltnis:  

 

                                                                                                                   (3)

 

Wenn m eine gerade Zahl ist, also die Eckenzahl des Polygons eine Viererzahl, geht es auf.

Falls m eine ungerade Zahl ist, ergibt sich ein halbzahliges VerhŠltnis. Die Eckenzahl des Polygons ist dann 6, 10, 14, ... . Euler (1782) bezeichnete diese Zahlen als nombres impairement pairs (ungerade gerade Zahlen). Diese etwas merkwŸrdige Formulierung wurde von meinen Studierenden etwa so interpretiert: Diese Zahlen setzen sich aus einer ungeraden Anzahl von Paaren zusammen. Sie besetzen in der Liste der geraden Zahlen die ungeraden Positionen. Sie sind die Summe von zwei ungeraden Zahlen.

Die ungeraden geraden Zahlen erscheinen auch in anderen ZusammenhŠngen, zum Beispiel bei der Darstellung der natŸrlichen Zahlen als Differenz zweier Quadratzahlen.

Es ist:

 

                                                                                                                (4)

 

 

 

 

 

 

 

 

12    Zerlegungsbeweise

Die Abbildung 32 zeigt einheitliche Zerlegungsbeweise fŸr den Sachverhalt der Abbildung 31.

 

 

           

 

           

 

           

Abb. 32: Zerlegungsbeweise

 

Die Abbildung 33 zeigt eine Variante.

 

           

 

           

 

           

Abb. 33: Variante

 

NatŸrlich gibt es noch viele andere Zerlegungsbeweise.

13    Ein Problem von Euklid

Euklid, Elemente, Buch II, ¤11: Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat Ÿber dem anderen Abschnitt gleich ist. Die Abbildung 34 zeigt die Situation. Die gegebene Strecke ist die Basislinie.

 

Abb. 34: Situation

 

Die folgenden Beispiele zeigen Versuche mit rationalen TeilverhŠltnissen (Abb. 35).

 

 

Abb. 35: Rationale TeilverhŠltnisse

 

Wir haben der Reihe nach die VerhŠltnisse 1:1, 1:2, 2:3, 3:5, ... . Es entstehen die Fibonacci-Zahlen. †ber Fibonacci-Zahlen siehe (Walser 2012). Wegen

 

                                                                                                                  (5)

 

wobei  die Fibonacci-Zahlen und  (Goldener Schnitt. †ber den Goldenen Schnitt siehe (Walser 2013b)) bezeichnen, haben wir fŸr den Teilpunkt das TeilverhŠltnis . Dieses TeilverhŠltnis ist irrational.

Die Frage ist nun, wie das Rechteck zum Quadrat zerlegt werden kann. Die Abbildung 36 zeigt den ersten und den zweiten Schritt einer Zerlegung mit jeweils grš§tmšglichen Rechtecken.

 

Abb. 36: Grš§tmšgliche Rechtecke

 

Nach zwei Abbauschritten hat der Rest (grau) dieselbe Form wie das Ausgangsproblem. Eine Zerlegung in endliche vielen Schritten ist also nicht mšglich. Die Abbildung 37 zeigt das Resultat bei Iteration des Verfahrens. Wir haben beim Teilpunkt eine Trichtersymmetrie.

 

Abb. 37: Trichtersymmetrie

 

14    SchrŠge Zerlegung

Die Abbildung 38 zeigt schrittweise eine gemeinsame Zerlegung, die mit nur vier Teilen und sogar nur zwei Formen auskommt.

 

 

Abb. 38: Zerlegung des Rechteckes ins Quadrat

 

In der Abbildung 39 wird durch Versatz die schiefe Bahn sichtbar. Wir kšnnen rechts oben durch ein sogenanntes Goldenes Rechteck ergŠnzen.

 

Abb. 39: Schiefe Bahn

 

Die Abbildung 40 zeigt ein Bild von Jo Niemeyer.

 

Abb. 40: Jo Niemeyer: 531 o. Titel

Acryl auf Leinwand auf Holz. 2014

 

15    Farben und €sthetik

In den Beispielen wurden meistens ãreineÒ RGB-Farben verwendet. Dadurch werden die Abbildungen etwas gar bunt.

Dank

Ich danke Jo Niemeyer, Funchal/Portugal, fŸr die Foto der Abbildung 40 sowie weitere RatschlŠge in der Farbgebung.

 

Literatur

Aigner, M., Ziegler, G. (2009): Das Buch der Beweise. Springer, Berlin.

Benko, D. (2007): A New Approach to HilbertÕs Third Problem. Amer. Math. Monthly 114 (2007), 665-676.

Boltianskii, V. G. (1978): HilbertÕs Third Problem. V. H. Winston & Sons, Washington D.C.

Dehn, M. (1900): †ber raumgleiche Polyeder. Nachr. Akad. Wiss. Gšttingen Math.-Phys. Kl. II, 345-354.

Dehn, M. (1902): †ber den Rauminhalt. Math. Annalen 55, 465-478.

Euklid (1980): Die Elemente. Nach Heibergs Text aus dem Griechischen Ÿbersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. ISBN 3-534-01488-X

Euler, L. (1782): Recherches sur une nouvelle espce de quarrŽs magiques. Opera Omnia, Series 1, Volume 7, 291-392. Enestršm Index 530.

Frederickson, Greg N. (1997): Dissections: plane & fancy. Cambridge University Press.

Frederickson, Greg N. (2002): Hinged Dissections. Swinging & Twisting. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81192-9. http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/book2.html

Hadwiger, Hugo (1949/50): Zum Problem der Zerlegungsgleichheit der Polyeder. Archiv der Math. 2, 441-444.

Hadwiger, Hugo (1954): Zum Problem der Zerlegungsgleichheit k-dimensionaler Polyeder. Math. Annalen, Bd. 127, 170-174.

Kagan, B. (1903): †ber die Transformation der Polyeder. Math. Annalen 57, 421-424.

Lindgren, Harry (1972): Geometric Dissections. Revised and enlarged by Greg Frederickson. New York: Dover.

Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.

Walser, Hans (2013a): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.

Walser, Hans (6. Auflage) (2013b). Der Goldene Schnitt. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

Wittmann, Erich (2012): Elementarisierung von Benkos Lšsung des 3. Hilbertschen Problems. Elem. Math. 67, 45-50.

 

Websites

Hinged Dissections (Abgerufen 3. 9. 2015)
http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/book2.html

Puzzles (Abgerufen 3. 9. 2015)
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Puzzles/index.html

Zerlegungsgleichheit (Abgerufen 3. 9. 2015)
http://mathworld.wolfram.com/Dissection.html

 

 

Version 14. September 2015, 22:54 Uhr