Hans Walser, [20250906]

Abgeschnittene Ecken

Idee und Anregung: Helmut Mallas, Flensburg, MA-THEMA September / Oktober 2025

1 Problemstellung

Von einem Dreieck kennen wir drei Seiten, nicht aber die Eckpunkte, weil diese außerhalb des Zeichenblattes liegen (Abb. 1). Gesucht ist irgend etwas aus dem Bereich der Elementargeometrie, zum Beispiel Höhenschnittpunkt, Fermat-Punkt, Inkreis etc. Wir werden exemplarisch den Inkreis konstruieren.

Abb. 1: Drei Seiten eines Dreiecks

2 Bearbeitung

2.1 Eine Schließungsfigur

Wir wählen auf der ersten Seite einen beliebigen Punkt und zeichnen durch diesen Punkt eine Parallele zur zweiten Seite (dunkelgrün in Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Startpunkt und erster Schritt

Wir schneiden die Parallele mit der dritten Seite und zeichnen durch den Schnittpunkt eine Parallele zur ersten Seite (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Zweiter Schritt

Wir schneiden diese Parallele mit der zweiten Seite und zeichnen durch den Schnittpunkt eine Parallele zur dritten Seite (Abb. 2.3).

Abb. 2.3: Dritter Schritt

Wir haben mittlerweile gemerkt, wie es weitergeht (Abb. 2.4 und 2.5).

Abb. 2.4: Vierter Schritt

Abb. 2.5: Fünfter Schritt

Und nun geschieht etwas Erstaunliches: beim sechsten Schritt kommen wir zum Startpunkt zurück (Abb. 2.6).

Abb. 2.6: Sechster Schritt: Die Figur schließt sich

Wir haben eine Schließungsfigur. Warum ist das so?

2.2 Mittelpunkte

Wir haben nun auf jeder Seite zwei dunkelgrüne Punkte. Wir zeichnen je deren Mittelpunkt (blau in Abb. 3).

Abb. 3: Mittelpunkte

Diese Mittelpunkte sind auch die Mittelpunkte der drei Dreiecksseiten. Warum ist das so?

3 Seitenmittendreieck und Schwerpunkt

Wir können nun das Seitenmittendreieck zeichnen (Abb. 4).

Abb. 4: Seitenmittendreieck

Das Seitenmittendreieck ist perspektivähnlich zum gegebenen Dreieck. Das Perspektivitäts-Zentrum ist der (gemeinsame) Schwerpunkt der beiden Dreiecke, der Perspektivitäts-Faktor ist –2.

Den Schwerpunkt finden wir am einfachsten mit der in der Abbildung 5 hellblau angedeuteten Methode.

Abb. 5: Schwerpunkt

4 Los geht’s

Nun ist kein Halten mehr. Im Seitenmittendreieck, welches uns nun als Modelldreieck dient, zeichnen wir die gewünschte Figur, in unserem Fall also den Inkreis (rot in Abb. 8).

Abb. 6: Inkreis im Seitenmittendreieck

Mit einer zentrischen Streckung am Schwerpunkt und dem Faktor –2 finden wir den gesuchten Inkreis des eingangs ohne Eckpunkte gegebenen Dreiecks (Abb. 7).

Abb. 7: Voilà

5 Lösbarkeit

Dieser Lösungsweg ist nur gangbar, wenn bei den eingangs gegebenen Bruchstücken des Dreiecks die drei Seitenmitten je mit einer ε-Umgebung implizit dabei sind.

Weblinks

Hans Walser: Höhenschnittpunkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hoehenschnittpunkt4/Hoehenschnittpunkt4.html

Hans Walser: Schließungsfiguren

https://walser-h-m.ch/hans/Schliessungsfiguren/