Hans Walser, [20250905]

Höhenschnittpunkt

Idee und Anregung: Helmut Mallas, Flensburg, MA-THEMA September / Oktober 2025

1 Problemstellung

Von einem Dreieck kennen wir drei Seiten, nicht aber die Eckpunkte, weil diese außerhalb des Bildschirms liegen (Abb. 1). Gesucht ist der Höhenschnittpunkt.

Abb. 1: Drei Seiten eines Dreiecks

2 Bearbeitung

2.1 Eine Schließungsfigur

Wir wählen auf der ersten Seite einen beliebigen Punkt und zeichnen durch diesen Punkt eine Parallele zur zweiten Seite (hellblau in Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Startpunkt und erster Schritt

Wir schneiden die Parallele mit der dritten Seite und zeichnen durch den Schnittpunkt eine Parallele zur ersten Seite (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Zweiter Schritt

Wir schneiden diese Parallele mit der zweiten Seite und zeichnen durch den Schnittpunkt eine Parallele zur dritten Seite (Abb. 2.3).

Abb. 2.3: Dritter Schritt

Wir haben mittlerweile gemerkt, wie es weitergeht (Abb. 2.4 und 2.5).

Abb. 2.4: Vierter Schritt

Abb. 2.5: Fünfter Schritt

Und nun geschieht etwas Erstaunliches: beim sechsten Schritt kommen wir zum Startpunkt zurück (Abb. 2.6).

Abb. 2.6: Sechster Schritt: Die Figur schließt sich

Wir haben eine Schließungsfigur. Warum ist das so?

2.2 Mittelpunkte

Wir haben nun auf jeder Seite zwei hellblaue Punkte. Wir zeichnen je deren Mittelpunkt (blau in Abb. 3).

Abb. 3: Mittelpunkte

Diese Mittelpunkte sind auch die Mittelpunkte der drei Dreiecksseiten. Warum ist das so?

2.3 Feuerbach-Kreis

Der Kreis durch die drei Seitenmittelpunkte ist der sogenannte Feuerbach-Kreis (blau in Abb. 4).

Abb. 4: Feuerbach-Kreis

2.4 Höhenfußpunkte

Der jeweils andere Schnittpunkt des Feuerbach-Kreises mit einer Dreiecksseite ist ein Höhenfußpunkt (rot in Abb. 5). Damit können wir die Höhen zeichnen und erhalten den Höhenschnittpunkt.

Abb. 5: Höhenfußpunkte

Weblinks

Hans Walser: Schließungsfiguren

https://walser-h-m.ch/hans/Schliessungsfiguren/

Hans Walser: Höhenschnittpunkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hoehenschnittpunkt3/Hoehenschnittpunkt3.html

Hans Walser: Höhenschnittpunkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hoehenschnittpunkt2/Hoehenschnittpunkt2.html

Hans Walser: Höhenschnittpunkt ohne Höhen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hoehenschnittpunkt/Hoehenschnittpunkt.htm