Hans Walser, [20250918]

Abstandsverhältnis

Anregung: Thomas Jahre, Aufgabe 70-834

1 Worum es geht

Abstände zu den Eckpunkten eines beliebigen Dreiecks

Orthogonale Kreise

Kollineare Punkte

2 Problemstellung

Wir beginnen mit einem beliebigen Dreieck ABC und seinem Umkreis (Abb. 1).

Abb. 1: Dreieck mit Umkreis

Gesucht sin nun Punkte, deren Abstände zu A, zu B und zu C sich exemplarisch wie 2:3:5 verhalten.

3 Bearbeitung

3.1 Apolloniuskreise

Wir zeichnen den Apolloniuskreis zu den Punkten A und B für das Verhältnis 2:3 (Abb. 2.1). Der Apolloniuskreis schneidet den Umkreis orthogonal.

Abb. 2.1: Erster Apolloniuskreis

Nun zeichnen wir den Apolloniuskreis zu den Punkten B und C für das Verhältnis 3:5 (Abb. 2.2). Auch dieser Apolloniuskreis schneidet den Umkreis orthogonal.

Abb. 2.2: Zweiter Apolloniuskreis

3.2 Lösungen

Die beiden Schnittpunkte der beiden Apolloniuskreise sind die beiden Lösungen unseres Problems (Abb. 3).

Abb. 3.1: Erste Lösung

Abb. 3.2: Zweite Lösung

4 Bemerkungen

4.1 Dritter Apolloniuskreis

Ein dritter Apolloniuskreis zu den Punkten C und A für das Verhältnis 5:2 (Abb. 4) ist ebenfalls orthogonal zum Umkreis und dient zur Kontrolle der beiden Lösungen.

Abb. 4: Dritter Apolloniuskreis

4.2 Kollineare Punkte

Die beiden Lösungspunkte und der Mittelpunkt des Umkreises sind kollinear (Abb. 5).

Abb. 5: Kollineare Punkte

Weblinks

Hans Walser: Abstandsverhältnis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Abstandsverhaeltnis/Abstandsverhaeltnis.html