1 Grundfigur

Die Grundfigur ist ein nicht konvexes Viereck mit drei spitzen Winkeln von 45° (Abb. 1).

Abb. 1: Grundfigur

Wir arbeiten mit einem gelben und einem roten Viereck.

2 Verkleinerungsfaktor

Das rote Viereck verkleinern wir mit dem Faktor √2 – 1 ≈ 0.414. Dies ist das Verhältnis der kurzen Viereckseiten zu den langen Viereckseiten.

Vom verkleinerten roten Viereck erstellen wir drei Kopien (Abb. 2).

Abb. 2: Verkleinern und kopieren

3 Konstruktion

Die verkleinerten roten Kopien platzieren wir in die 45°-Ecken einer Kopie des gelben Vierecks (Abb. 3). In der Mitte erscheint ein regelmäßiges Achteck.

Abb. 3: Einfügen in die Ecken

Nun erstellen wir wiederum drei verkleinerte Kopien (Abb. 4).

Abb. 4: Verkleinern und kopieren

Die verkleinerten Kopien platzieren wir erneut in die 45°-Ecken einer Kopie des gelben Vierecks (Abb. 5).

Abb. 5: Einfügen in die Ecken

Und so geht es weiter (Abb. 6). Der Rot-Anteil wird immer kleiner.

Abb. 6: Die nächsten Schritte

Die Abbildung 7 gibt eine Animation des Konstruktionsvorganges.

Abb. 7: Konstruktionsschritte

4 Zusammenfügen zum Stern

Wir können acht Kopien egal welchen Schrittes zu einem Stern mit acht Spitzen zusammenfügen (Abb. 8, 9 und 10).

Abb. 8: Stern dritte Generation

Abb. 9: Welche Generation ist das?

Abb. 10: Animation

5 Bemerkungen

Das Fraktal hat die fraktale Dimension D

D = log(3)/log(√2 + 1) ≈ 1.246

Die Abbildungen 2 bis 7 haben dieselbe Struktur wir das Sierpiński-Dreieck.

Weblinks

Hans Walser: Achteck-Fraktal

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Achteck1/Achteck1.htm

Hans Walser: Miniaturen: Fraktale

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Fraktale/index.html