Hans Walser, [20250516]

Additionstheoreme

1 Worum es geht

Verschiedene Herleitungen der Additionstheoreme für Kosinus und Sinus.

2 Schulische Herleitung

Wir zeichnen ein erstes Dreieck mit einem Winkel α (gelb in Abb. 1). Es hat die Hypotenuse 1 und die Katheten cos(α) und sin(α).

Abb. 1: Erstes rechtwinkliges Dreieck

Auf dieses Dreieck legen wir ein zweites rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel β (hellblau in Abb. 2). Es hat die Hypotenuse 1 und die Katheten cos(β) und sin(β).

Abb. 2: Zweites rechtwinkliges Dreieck

Wir zeichnen zwei weitere, zum gelben Dreieck ähnliche, rechtwinklige Dreiecke (Abb. 3). Das untere Dreieck hat die Hypotenuse cos(β) und die Katheten cos(α)cos(β) und sin(α)cos(β). Das obere Dreieck hat die Hypotenuse sin(β) und die Katheten cos(α)sin(β) und sin(α)sin(β).

Abb. 3: Zwei weitere rechtwinklige Dreiecke

Nun zeichnen wir noch ein Dreieck mit einem Winkel α + β (grün in Abb. 4). Es hat die Hypotenuse 1 und die Katheten cos(α + β) und sin(α + β).

Abb. 4: Finales rechtwinkliges Dreieck

Der Vergleich der Abbildungen 3 und 4 zeigt:

cos(α + β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

Dies sind die Additionstheoreme für Kosinus und Sinus.

3 Beweis mit Drehmatrizen

Wir multiplizieren die Drehmatrizen für die Drehungen um α und um β:

Dies gibt aber die Drehmatrix der Drehung um α + β, also:

Vergleich der beiden Drehmatrizen gibt wiederum die Additionstheoreme.

4 Komplexe Exponentialfunktion

Wir arbeiten mit der Darstellung:

Somit ist zunächst:

Andererseits ist:

Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert wiederum die Additionstheoreme.

Weblinks

Hans Walser: Additionstheoreme

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Additionstheoreme/Additionstheoreme.htm