1 Worum es geht

Formeln im Kontext des Inkreises und der Ankreise im rechtwinkligen Dreieck.

Illustrationen: Flächengleichheit und Längengleichheit

2 Bezeichnungen

Es seien a und b die Katheten, c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Es ist also a² + b² = c².

Weiter sei s der halbe Umfang, also s = ½ (a + b + c).

Mit r_i bezeichnen wir den Inkreisradius.

Mit r_c bezeichnen wir den Radius desjenigen Ankreises, welcher der Ecke C gegenüberliegt. Entsprechend r_a und r_b.

3 Bezeichnungen und Formeln

Es ist:

(1) r_i = s – c = ½ (a + b – c)

(2) r_a = s – b = ½ (a – b + c)

(3) r_b = s – a = ½ (–a + b + c)

(4) r_c = s = ½ (a + b + c)

4 Gleichheiten

Die folgenden Gleichheiten lassen sich durch Nachrechnen verifizieren.

4.1 Quadratsumme

(5) r_i² + r_a² + r_b² + r_c² = 2c² = a² + b² + c²

Die Abbildung 1 illustriert die Quadratsumme (5).

Abb. 1: Rot = Blau

Aus (5) ergibt sich:

(6) r_i² π + r_a² π + r_b² π + r_c² π = 8(½ c)²π

Geometrisch bedeutet (6), dass die Summe der Flächeninhalte des Inkreises plus der drei Ankreise das Achtfache des Flächeninhaltes des Thaleskreises ist (Abb. 2).

Abb. 2: Rot = achtmal Blau

4.2 Flächengleichheit

(7) r_a r_b = r_i r_c = ½ ab

Wir haben zwei Rechtecke mit demselben Flächeninhalt wie das rechtwinklige Dreieck (Abb. 3, die angegebenen Maßzahlen basieren auf der Hypotenusenlänge c = 1).

Abb. 3: Flächengleichheit

4.3 Längengleichheit

(8) r_a + r_b = r_c – r_i = c

Wir haben drei Strecken derselben Länge (rot in Abb. 4).

Abb. 4: Gleiche Längen

Weblinks

Hans Walser: An-, In- und Umkreis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/An-In-und_Umkreis/An-In-und_Umkreis.pdf

Hans Walser: Invariante Flächensumme

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invariante_Flaechensumme/Invariante_Flaechensumme.html