Hans Walser, [20240710]

Invariante Flächensumme

1 Worum es geht

Invariante Flächensumme im Kontext des rechtwinkligen Dreieckes

In- und Ankreise des rechtwinkligen Dreieckes

2 Beispiel

Im Quadratraster zeichnen wir das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a = 3 und b = 4 (gelb in Abb. 1).

Abb. 1: Beispiel

Zu diesem Dreieck zeichnen wir den Inkreis und die drei Ankreise. In diesen Kreisen zeichnen wir rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke (rot) mit dem rechten Winkel im Zentrum und den beiden anderen Ecken in den Berührungspunkten der Kreise mit den Kathetengeraden ein.

Schließlich zeichnen wir noch das Hypotenusenquadrat (blau).

Die Flächeninhalte der rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke können wir im Quadratraster ablesen (Tab. 1).

Dreieck	Position	Kreisradius	Flächeninhalt
Dreiecki	Im Inkreis	ri = 1	0.5
Dreiecka	Im Ankreis an Kathete a	ra = 2	2
Dreieckb	Im Ankreis an Kathete b	rb = 3	4.5
Dreieckc	Im Ankreis an Hypotenuse	rc = 6	18
Flächensumme			25

Tab. 1: Flächeninhalte

Die Hypotenuse hat die Länge 5, das Hypotenusenquadrat den Flächeninhalt 25.

Die Flächensumme der vier rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke ist gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates.

3 Allgemeines rechtwinkliges Dreieck

In einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck ist bei der analogen Konstruktion die Flächensumme der vier rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke ist gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates.

Für den rechnerischen Beweis sind folgende Formeln hilfreich. Dabei ist s der halbe Umfang des rechtwinkligen Dreiecks: s = ½ (a + b + c). Die Radien des Inkreises und der Ankreise werden mit r_i, r_a, r_b, r_c bezeichnet.

r_i = s – c

r_a = s – b [sic!]

r_b = s – a

r_c = s

4 Animationen

In den folgenden Animationen ist die Hypotenuse auf 1 normiert.

In der Animation der Abbildung 2 dreht das Hypotenusenquadrat um eine Ecke.

Abb. 2: Drehen des Hypotenusenquadrates

In der Animation der Abbildung 3 bleibt der rechte Winkel des rechtwinkligen Dreiecks fest.

Abb. 3: Fester rechter Winkel

In der Animation der Abbildung 4 wird mit dem Thaleskreis gearbeitet.

Abb. 4: Animation mit Thaleskreis

Weblinks

Hans Walser: Kreise beim Dreieck

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreise_beim_Dreieck/Kreise_beim_Dreieck.html