Hans Walser, [20240618]

Archimedische Körper

Anregung: Wilfried Dutkowski, Bonn

1 Worum es geht

Parcours durch einige archimedische Körper.

2 Vom Würfel zum Kuboktaeder

Wir stumpfen die Ecken eines Würfels ab. Die Schnittfiguren sind regelmäßige Dreiecke.

2.1 Animation

Abb. 1: Vom Würfel zum Kuboktaeder

2.2 Stationen

2.2.1 Würfel

Am Anfang war der Würfel (Abb. 2). Seine Oberfläche besteht aus sechs Quadraten. Der Würfel wird auch als regelmäßiges Hexaeder bezeichnet. Der Würfel ist ein platonischer Körper.

Abb. 2: Würfel

2.2.2 Hexaederstumpf

Der Zwischenstopp in der Animation (Abb. 1) zeigt den Hexaederstumpf (Abb. 3). Der Hexaederstumpf ist ein archimedischer Körper. Seine Oberfläche besteht aus sechs regelmäßigen Achtecken und acht regelmäßigen Dreiecken.

Abb. 3: Hexaederstumpf

2.2.3 Kuboktaeder

Die Endlage zeigt das Kuboktaeder (Abb. 4). Das Kuboktaeder ist ein archimedischer Körper. Seine Oberfläche besteht aus sechs Quadraten und acht regelmäßigen Dreiecken.

Abb. 4: Kuboktaeder

3 Vom Kuboktaeder zum Oktaeder

3.1 Animation

Abb. 5: Vom Kuboktaeder zum Oktaeder

3.2 Stationen

3.2.1 Kuboktaeder

Wir starten mit dem Kuboktaeder (Abb. 4).

3.2.2 Oktaederstumpf

Der Zwischenstopp in der Animation (Abb. 5) zeigt den Oktaederstumpf (Abb. 6). Der Oktaederstumpf ist ein archimedischer Körper. Seine Oberfläche besteht aus sechs Quadraten und acht regelmäßigen Sechsecken. Der Oktaederstumpf ist ein space filler. Wir können den Raum lückenlos und überlappungsfrei mit Oktaederstümpfen auffüllen .

Abb. 6: Oktaederstumpf

3.2.3 Oktaeder

Die Endlage ist ein regelmäßiges Oktaeder (Abb. 7). Dieses ist ein platonischer Körper.

Abb. 7: Oktaeder

4 Vom Würfel zum Oktaeder

Die Animation der Abbildung 8 ist eine Kumulierung der Abbildungen 1 und 5.

Abb. 8: Vom Würfel zum Oktaeder

5 Vom Oktaederstumpf zum Würfel

Das geht so: Wir fixieren die Mittelpunkte der acht Sechsecke des Oktaederstumpfes (Abb. 6) im Raum. Dann verkleinern wir die Sechsecke und nehmen die konvexe Hülle der aus den acht verkleinerten Sechsecken bestehenden Figur. Es entstehen zusätzlich sechs nicht regelmäßige Achtecke und zwölf Rechtecke (Abb. 9).

5.1 Animation

Abb. 9: Vom Oktaederstumpf zum Würfel

5.2 Stationen

5.2.1 Oktaederstumpf

Wir starten mit dem Oktaederstumpf (Abb. 6).

5.2.2 Großes Rhombenkuboktaeder

Ein Zwischenstopp in der Abbildung 9 zeigt das große Rhombenkuboktaeder (Abb. 10). Es ist ein archimedischer Körper mit zwölf Quadraten, acht regelmäßigen Sechsecken und sechs regelmäßigen Achtecken auf der Oberfläche.

Abb. 10: Großes Rhombenkuboktaeder

5.2.3 Abgestumpftes Kuboktaeder

Der nächste Zwischenstopp in der Abbildung 9 ist kein archimedischer Körper. Er enthält zwar acht regelmäßige Sechsecke (Abb. 11). Die gelben Vierecke sind Rechtecke mit dem Seitenverhältnis √2 :1 (Rechtecke im DIN-Format). Die sechs roten Achtecke sind zwar gleichwinklig, aber nicht gleichseitig (Abb. 12). Das Achteck kann im Karoraster gezeichnet werden.

Abb. 11: Abgestumpftes Kuboktaeder

Abb. 12: Im Karoraster

5.2.4 Endlage Würfel

Abb. 13: Endlage Würfel

6 Vom Würfel zum Würfel

Der Endwürfel ist längenmäßig halb so groß wie der Startwürfel (Abb. 14).

Abb. 14: Vom Würfel zum Würfel

Weblinks

Hans Walser: Abgestumpftes Kuboktaeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Abgestumpftes_Kuboktaeder2/Abgestumpftes_Kuboktaeder2.html

Hans Walser: Abgestumpftes Kuboktaeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Abgestumpftes_Kuboktaeder/Abgestumpftes_Kuboktaeder.html