1 Worum es geht

Hintergrund zur Formel:

(1) arccos(4/5) + arccos(5/13) + arccos(16/65) = π

2 Weitere Beispiele

(2a) arccos(3/5) + arccos(5/13) + arccos(33/65) = π

(2b) arcsin(3/5) + arcsin(5/13) + arcsin(33/65) = ½ π

(3a) arccos(3/5) + arccos(21/29) + arccos(17/145) = π

(3b) arcsin(3/5) + arcsin(21/29) + arcsin(17/145) = ½ π

(4a) arccos(5/13) + arccos(21/29) + arccos(135/377) = π

(4b) arcsin(5/13) + arcsin(21/29) + arcsin(135/377) = ½ π

3 Hintergrund

Wir wählen vier Zahlen a₁, b₁, a₂, b₂ mit a₁a₂ < b₁b₂ und konstruieren damit die Figur der Abbildung 1.

Abb. 1: Basisfigur

Die Figur besteht aus vier rechtwinkligen Dreiecken. Die beiden roten Dreiecke haben das Kathetenverhältnis a₁:b₁, sind also ähnlich zueinander. Das gelbe Dreieck hat das Kathetenverhältnis a₂:b₂. Weiter ist c₁ die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a₁ und b₁ und entsprechend c₂ die Hypotenuse des Dreiecks mit den Katheten a₂ und b₂.

Die Seiten des blauen rechtwinkligen Dreiecks ergeben sich aus der Figur.

Die Dreieckswinkel am grün markierten Punkt führen zur Formel:

(5a) arccos(a₁/c₁) + arccos(a₂/c₂) + arccos((b₁b₂ – a₁a₂)/( c₁c₂)) = π

Die Dreieckswinkel am hellblau markierten Punkt führen zur Formel:

(5b) arcsin(a₁/c₁) + arcsin(a₂/c₂) + arcsin((b₁b₂ – a₁a₂)/( c₁c₂)) = ½ π

Beispiele:

Für a₁ = 3, b₁ = 4 und a₂ = 5, b₂ = 12 erhalten wir zunächst c₁ = 5 und c₂ = 13 (pythagoreische Tripel). Einsetzen in (5a) und (5b) ergibt die Beispiele (2a) beziehungsweise (2b).

Für a₁ = 4, b₁ = 3 und a₂ = 5, b₂ = 12 erhalten wir ebenfalls c₁ = 5 und c₂ = 13. Einsetzen in (5a) ergibt das Beispiel (1).

Bei der Verwendung von nicht-pythagoreischen Tripeln ergeben sich Wurzelausdrücke. Für a₁ = 1, b₁ = 2 und a₂ = 1, b₂ = 3 erhalten wir:

(6a) arccos(sqrt(5)/5) + arccos(sqrt(10)/10) + arccos(sqrt(5)*sqrt(10)/10) = π

(6b) arcsin(sqrt(5)/5) + arcsin(sqrt(10)/10) + arcsin(sqrt(5)*sqrt(10)/10) = ½ π

Wenn die Bedingung a₁a₂ < b₁b₂ nicht erfüllt ist, gelten die Formeln (5) nicht. Für a₁ = 3, b₁ = 4 und a₂ = 15, b₂ = 8 erhalten wir:

(7a) arccos(3/5) + arccos(15/17) + π – arccos(13/85) = π

(7b) arcsin(3/5) + arcsin(15/17) – arcsin(13/85) = ½ π

In der Figur ergeben sich Überlappungen (Abb. 2). Daher die Minuszeichen in (7).

Abb. 2: Überlappungen

Literatur

Heo, Nam Gu (2025): arccos(4/5) + arccos(5/13) + arccos(16/65) = π. Math. Mag. 98 (2025) 478. doi: 10.1080/0025570X. 2025. 2558315 © Mathematical Association of America

Weblinks

Hans Walser: arctan

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/arctan5/arctan5.html