1 Worum es geht

Trigonometrische Identitäten

Visualisierung

2 Beispiele

arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = π

arctan(1) + arctan(½) + arctan(⅓) = π/2

arctan(5) + arctan(8) + arctan(⅓) = π

arctan(⅕) + arctan(⅛) + arctan(3) = π/2

arctan(1) + arctan(5/2) + arctan(7/3) = π

arctan(1) + arctan(2/5) + arctan(3/7) = π/2

3 Die Formeln

Für a₁a₂ > b₁b₂ gilt allgemein:

arctan(a₁/b₁) + arctan(a₂/b₂) + arctan((a₁b₂ + b₁a₂)/(a₁a₂–b₁b₂)) = π

arctan(b₁/a₁) + arctan(b₂/a₂) + arctan((a₁a₂–b₁b₂)/(a₁b₂ + b₁a₂)) = π/2

4 Beweis

Rechnerisch: Die Formeln können mit dem Additionstheorem für den Tangens nachgewiesen werden.

Visuell: In der Beweisfigur (Abb. 1 mit a₁ = 4, b₁ = 3, a₂ = 5, b₂ = 2) haben die beiden roten rechtwinkligen Dreiecke das Kathetenverhältnis a₁:b₁. Sie sind also ähnlich. Das gelbe rechtwinklige Dreieck hat das Kathetenverhältnis a₂:b₂. Das hellblaue rechtwinklige Dreieck hat damit das Kathetenverhältnis (a₁b₂ + b₁a₂):(a₁a₂– b₁b₂).

Abb. 1: Beweisfigur

Der blau markierte gestreckte Winkel setzt sich zusammen aus arctan(a₁/b₁) + arctan(a₂/b₂) + arctan((a₁b₂ + b₁a₂)/(a₁a₂–b₁b₂)).

Der magenta markierte rechte Winkel setzt sich zusammen aus arctan(b₁/a₁) + arctan(b₂/a₂) + arctan((a₁a₂–b₁b₂)/(a₁b₂ + b₁a₂)).

Damit sind die beiden Formeln bewiesen.

Die Abbildung 2 zeigt die Situation für a₁ = 4, b₁ = 3, a₂ = 5, b₂ = 9. Die Bedingung a₁a₂ > b₁b₂ ist verletzt. Es kommt zu Überlappungen.

Abb. 2: Überlappungen

Weblinks

Hans Walser: arctan

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/arctan/arctan.html

Hans Walser: arctan und pythagoreische Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/arctan2/arctan2.html

Hans Walser: arctan

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/arctan3/arctan3.html

Hans Walser: arctan

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/arctan4/arctan4.html