Hans Walser, [20241019]

Berührkreise

1 Worum es geht

Inkreise in Kreisabschnitten

2 Problemstellung

Ein Kreis wird durch zwei Geraden in insgesamt vier Teile zerlegt (Abb. 1). In jeden dieser vier Kreisabschnitte soll ein Kreis eingepasst werden, der den gegebenen Kreis und die beiden Geraden berührt.

Abb. 1: Kreis und zwei Geraden

3 Bearbeitung

Wir zeichnen zu jeder Geraden das Parallelenpaar im Abstand des Kreisradius (Abb. 2).

Abb. 2: Parallelenpaare

Nun zeichnen wir Parabeln, welche den Kreismittelpunkt als Brennpunkt und eine Parallele als Leitlinie haben. In der Abbildung 3 ist ein Beispiel eingezeichnet. Die Parabel verläuft durch die Schnittpunkte der zugehörigen Geraden mit dem Kreis.

Abb. 3: Parabel mit Brennpunkt und Leitlinie

Die Abbildung 4 zeigt alle vier Parabeln. Sie haben alle denselben Brennpunkt.

Abb. 4: Alle vier Parabeln

Die Schnittpunkte der Parabeln im Innern des gegebenen Kreises sind die Mittelpunkte der gesuchten Kreise (Abb. 5).

Abb. 5: Mittelpunkte

Die Abbildung 6 zeigt die Endfigur.

Abb. 6: Eingepasste Kreise

Die Stimmigkeit der Konstruktion ergibt sich aus den Abstandseigenschaften der Parabeln.

4 Eine Flächeninvarianz

Wir hängen an die Mittelpunkte der eingepassten Kreise Quadrate an gemäß Abbildung 7.

Dann verschwindet die alternierende Flächensumme der Quadrate. Beweistipp: Diagonalen im weißen Viereck, das im Innern der Quadrate liegt.

Abb. 7: Alternierende Flächensumme verschwindet

5 Ankreise

Die vier Schnittpunkte der Parabeln außerhalb des Kreises sind die Zentren von Ankreisen (Abb. 8, nur zwei Schnittpunkte im Gesichtsfeld).

Abb. 8: Ankreise

6 Hintergrund

Sonderfall des Apollonischen Problems.

Die Lösungsidee mit Parabeln geht zurück auf Adriaan van Roomen (1561-1615).

Weblinks

Hans Walser: Füllkreis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fuellkreis/Fuellkreis.html