Hans Walser, [20260418]

Clelia-Kurven

1 Worum es geht

Variation der Vivianischen Kurve

Stereografische Projektion

2 Kugelparametrisierung

Wir arbeiten mit der Kugelparametrisierung

x(u, v) = cos(u) cos(v)

y(u, v) = cos(u) sin(v)

z(u, v) = sin(u)

im Parameterbereich:

(u, v) ∈ [–π/2 .. π/2]×[–π .. π]

Dabei ist u die geografische Breite und wird traditionellerweise in senkrechter Richtung abgetragen. Entsprechend ist v die geografische Länge, welche in waagerechter Richtung abgetragen wird (Abb. 1). Der Kugelradius ist 1.

Abb. 1: Parameterbereich und Kugel

3 Die klassische vivianische Kurve

Wir setzen v = u = t, t ∈ [–π/2 .. π/2], also:

x(t) = cos(t) cos(t)

y(t) = cos(t) sin(t)

z(t) = sin(t)

Wir erhalten eine Kurve auf der Einheitskugel (Abb. 2). Da die Kugel transparent gezeichnet ist, sehen wir auch das untere Ende der Kurve beim Südpol.

Abb. 2: Die vivianische Kurve

4 Variation

Wir arbeiten mit den Abbildungsgleichungen:

x(t) = cos(t) cos(mt)

y(t) = cos(t) sin(mt)

z(t) = sin(t)

Die so entstehenden Kurven auf der Einheitskugel werden als Clelia-Kurven bezeichnet.

Für m = 1 ergibt sich die klassische Vivianische Kurve (Abb. 2).

Für m = 2 erhalten wir die Situation der Abbildung 3.

Abb. 3: m = 2

In der Sicht von oben sehen wir eine Herzkurve (Abb. 4). Es handelt sich allerdings nicht um die klassische Kardioide, wie der Vergleich mit der blau eingezeichneten Kardioide zeigt.

Abb. 4: Herzkurve und Kardioide

Für m = 12 erhalten wir eine sphärische Schraubenlinie (Abb. 5 und Abb. 6)

Abb. 5: m = 12

Abb. 6: Sphärische Schraubenlinie

Für m = ½ erhalten wir die Situation der Abbildung 7.

Abb. 7: m = ½

Wir können die Kurve über die Pole hinaus fortsetzen (Abb. 8).

Abb. 8: Fortsetzung der Kurve

Die Abbildung 9 zeigt die Kurve von vorne und von oben.

Abb. 9: Sicht von vorne und von oben

Die Abbildung 10 zeigt in blau die stereografische Projektion der Kurve vom Nordpol aus auf die Äquatorebene in einer Ansicht und in der Sicht von oben.

Abb. 10: Stereografische Projektion

Für m = ⅕ ergeben sich die Figuren der Abbildung 11.

Abb. 11: m = ⅕

5 Personen

Guido Grandi (1671-1742) hat die Kurven zu Ehren von Clelia Grillo Borromeo (1684-1777) bezeichnet.

Weblink

Hans Walser: Vivianische Kurve

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vivianische_Kurve3/Vivianische_Kurve3.html