Hans Walser, [20251209]

Vivianische Kurve

1 Worum es geht

Variationen der vivianischen Kurve

Vivianische Herzkurve

Übertragung der Figur von Knauth

2 Kugelparametrisierung

Wir arbeiten mit der Kugelparametrisierung

x(u, v) = cos(u) cos(v)

y(u, v) = cos(u) sin(v)

z(u, v) = sin(u)

im Parameterbereich:

(u, v) ∈ [–π/2 .. π/2]×[–π .. π]

Dabei ist u die geografische Breite und wird traditionellerweise in senkrechter Richtung abgetragen. Entsprechend ist v die geografische Länge, welche in waagerechter Richtung abgetragen wird (Abb. 1).

Abb. 1: Parameterbereich und Kugel

3 Die klassische vivianische Kurve

Wir zeichnen eine schräge Linie (Steigungswinkel 45°) im Parameterbereich und übertragen auf die Kugel (Abb. 2).

Abb. 2: Übertragung einer schrägen Linie

Nun gehen wir auch noch gespiegelt vor und erhalten so die klassische vivianische Kurve (Abb. 3).

Abb. 3: Die vivianische Kurve

Da der obere und der untere Rand des Parameterbereiches auf den Nord- beziehungsweise den Südpol abgebildet werden, haben wir auf der Kugel eine geschlossene 8-förmige Kurve.

4 Vivianische Herzkurve

Ein flaches × im Parameterbereich führt zur vivianischen Herzkurve (Abb. 4 und Abb. 5).

Abb. 4: Vivianische Herzkurve

Abb. 5: Vivianische Herzkurve

Die Abbildungen 6 und 7 zeigen eine Verdoppelung der vivianischen Herzkurve.

Abb. 6: Doppelte Herzkurve

Abb. 7: Bewegte Herzen

5 Figur von Knauth

Wir zeichnen in den Parameterbereich die Figur von Knauth (Abb. 8).

Abb. 8: Figur von Knauth

In der Sicht von vorne ist das zentrale Achteck gut erkennbar (Abb. 9).

Abb. 9: Sicht von vorne

Die Abbildungen 10 und 11 zeigen eine Fortsetzung der Figur von Knauth.

Abb. 10: Fortgesetzte Figur von Knauth

Abb. 11: Sicht von allen Seiten

Weblinks

Hans Walser: Knauth

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Knauth3/Knauth3.html

Hans Walser: Vivianische Kurve

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vivianische_Kurve2/Vivianische_Kurve2.html

Hans Walser: Vivianische Kurve

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vivianische_Kurve/Vivianische_Kurve.html

Hans Walser: Die vivianische Kurve in stereographischer Projektion – die Strophoide

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viviani/Viviani.htm