1 Worum es geht

Zerlegung der Figur von Knauth mit drei verschiedenen Typen von kongruenten rechtwinkligen Dreiecken.

2 Die Figur von Knauth

Wir verbinden die Kantenmitten eines Quadrates mit den gegenüberliegenden Eckpunkten (Abb. 1). Die entstehende Figur wird als Figur von Knauth oder als Quadrat von Knauth bezeichnet.

Abb. 1: Figur von Knauth

Wir füllen nun die Figur von Knauth mit rechtwinkligen Dreiecken. Dabei benötigen wir lediglich drei Klassen von je kongruenten rechtwinkligen Dreiecken.

3 Pythagoreische Dreiecke

Die acht in der Abbildung 2 gelb eingetragenen rechtwinkligen Dreiecke haben das Seitenverhältnis 3:4:5. Das ist ein pythagoreisches Dreieck („ägyptisches Dreieck“).

Abb. 2: Acht kongruente pythagoreische Dreiecke

4 Auffüllen des Zentrums

Im Zentrum der Figur haben wir ein gleichseitiges wechselwinkliges Achteck. Wir setzen zunächst acht kongruente rechtwinklige Dreiecke ein (Abb. 3). Die roten und grünen Dreiecke sind zueinander kongruent. Sie haben das Kathetenverhältnis 1:2 und damit das Seitenverhältnis 1:2:√5.

Abb. 3: Acht kongruente Dreiecke mit Kathetenverhältnis 1:2

In die verbleibenden Zwischenräume im Zentrum setzen wir weitere acht kongruente rechtwinklige Dreiecke ein (blau und hellblau in Abb. 4). Diese acht neu eingefügten Dreiecke haben das Kathetenverhältnis 1:3 und damit das Seitenverhältnis 1:3:√10.

Abb. 4: Acht Dreiecke mit Kathetenverhältnis 1:3

5 Eine Winkelformel

Im Mittelpunkt der Figur haben wir nun acht Winkel der Größe

arctan(½) ≈ 26.565°

und weitere acht Winkel er Größe:

arctan(⅓) ≈ 18.435°

Da diese Winkel zusammen 360° ausmachen, ergibt sich die Beziehung:

arctan(½) + arctan(⅓) = 45°

Diese Beziehung kann in der Form

arctan(1) + arctan(½) + arctan(⅓) = 90°

geschrieben werden.

6 Die kurzen Spitzen

Die vier kurzen Spitzen des Sternes in der Figur von Knauth können mit je zwei Dreiecken mit dem Kathetenverhältnis 1:2 gefüllt werden (rot und grün in Abb. 5).

Abb. 5: Kurze Spitzen des Sternes

7 Die langen Spitzen

Die vier langen Spitzen des Sternes können mit je acht Dreiecken mit dem Kathetenverhältnis 1:3 gefüllt werden (blau und hellblau in Abb. 6).

Abb. 6: Lange Spitzen des Sternes

8 Hintergrund

Der noch verbleibende weiße Hintergrund kann mit achtmal mit je vier Dreiecken mit dem Kathetenverhältnis 1:2 gefüllt werden. Damit ist das ganze Quadrat ausgefüllt (Abb. 7).

Abb. 7: Gesamtfigur

9 Vergleich der Längen

Die Kathetenlängen der rechtwinkligen Dreiecke können ganzzahlig ausgedrückt werden.

Dazu unterteilen wir eine Verbindungslinie von einer Kantenmitte zu einem gegenüberliegenden Eckpunkt in 30 Teile und verwenden einen solchen Teil als Einheit. Die Länge dieser Einheit ist √5/60 Mal die Kantenlänge des Quadrates.

Farbe	Kurze Kathete	Lange Kathete	Anzahl	Flächeninhalt	Flächeninhalt total
gelb	3	4	8	6	48
rot/grün	3	6	48	9	432
blau/hellblau	2	6	40	6	240
Summe					720

Tab. 1: Vergleich der Rechtecke

10 Person

Johann (oder Johannes) Knauth. 1864-1924. Deutscher Architekt. Arbeitete am Kölner Dom und war Dombaumeister des Straßburger Münsters

Weblinks

Hans Walser: Knauth Figure and Pythagoras

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/index.html

Hans Walser: Sternfläche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sternflaeche/Sternflaeche.htm

Hans Walser: Sternfläche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Knauth/Knauth.htm

Literatur

Knauth, Johann (1908): Das Straßburger Münster und die Cheopspyramide. Rätsel der Baukunst. Straßburg.