Hans Walser, [20250927], [20251211]

Vivianische Kurve

1 Worum es geht

Abwicklungen der vivianischen Kurve.

Vergleich mit der Bernoullischen Lemniskate.

2 Schnittlinie

Wir arbeiten mit der Einheitskugel, einem Kreiszylinder, einem parabolischen Zylinder und einem Doppelkegel (grün, gelb, hellblau und magenta in Abb. 1).

Die Einheitskugel hat die Koordinatengleichung x² + y² + z² = 1 .

Der Radius des Kreiszylinders ist halb so groß wie der Kugelradius, eine seiner Mantellinien geht durch das Kugelzentrum. Der Zylinder hat die Koordinatengleichung (x – ½ )² + y² = ¼ .

Der parabolische Zylinder hat die Koordinatengleichung x = 1 – z² .

Der Doppelkegel hat die Koordinatengleichung (x – 1)² + y² = z² .

Abb. 1: Kugel, Zylinder, parabolischer Zylinder

Diese vier Flächen haben eine gemeinsame Schnittlinie, nämlich die vivianische Kurve (Abb. 2).

Abb. 2: Vivianische Kurve

Die Abbildung 3 zeigt je zwei der vier Flächen.

Abb. 3: Je zwei der vier Flächen

3 Abwicklungen

Der Kreiszylinder und der parabolische Zylinder lassen sich in die Ebene abwickeln.

3.1 Abwicklung des Kreiszylinders

Die Abbildung 4 zeigt die Abwicklung des Kreiszylinders. In der Abwicklung erscheint die vivianische Kurve als Sinuskurve. Die rechnerische Herleitung ist recht einfach.

Abb. 4: Abwicklung des Kreiszylinders

3.2 Abwicklung des parabolischen Zylinders

Die Abbildung 5 zeigt die Abwicklung des parabolischen Zylinders. Es erscheint eine 8-förmige Kurve. Die Herleitung benötigt die Bogenlänge der Parabel.

Abb. 5: Abwicklung des parabolischen Zylinders

Die 8-förmige Kurve ist nicht die Bernoullische Lemniskate. Die Abbildung 6 zeigt unsere 8-förmige Kurve (rot) und die Bernoullische Lemniskate (blau). Der Autor gesteht, dass der Vergleich der 8-förmigen Kurve mit der Lemniskate die Motivation zur vorliegenden Studie war.

Abb. 6: Vergleich mit der Lemniskate

Die Abbildung 7 zeigt die Abwicklungen des Zylinders und des parabolischen Zylinders in einem gemeinsamen Bild.

Abb. 7: Die beiden Abwicklungen

3.3 Abwicklung des Kegels

Wir wickeln den in der Abbildung 8 gezeigten Teil des Kegelmantels ab.

Abb. 8: Abwicklung des Kegelmantels

4 In der Parameterebene der Kugel

Die Kugel lässt sich nicht in die Ebene abwickeln.

Für die klassische Parametrisierung

benötigen wir den Parameterbereich:

Die Abbildung 9 zeigt den Parameterbereich mit dem Urbild der vivianischen Kurve sowie die Situation auf der Kugel. Im Parameterbereich erscheint das Urbild der vivianischen Kurve als ×. Die obere Begrenzung des Parameterbereiches wird auf den Nordpol abgebildet, daher fallen die beiden oberen Enden des × auf der Kugel zusammen. Analog im Südpol.

Abb. 9: Situation im Parameterbereich und auf der Kugel

Die vivianische Kurve hat die sehr einfache Parameterdarstellung:

5 Person

Vincenzo Viviani, 1622-1703, Florenz. Schüler von Galilei.

Weblinks

Hans Walser: Vivianische Kurve

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vivianische_Kurve3/Vivianische_Kurve3.html

Hans Walser: Vivianische Kurve

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vivianische_Kurve2/Vivianische_Kurve2.html

Hans Walser: Vivianische Kurve

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vivianische_Kurve/Vivianische_Kurve.html

Hans Walser: Die vivianische Kurve in stereographischer Projektion – die Strophoide

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viviani/Viviani.htm