1 Worum es geht

Übergang von einem Tetraeder zum dualen Tetraeder durch Drehungen von Ebenen

2 Konstruktion

Wir beginnen mit einem Rhombendodekaeder (Abb. 1). Die langen Diagonalen der Rhomben bilden ein Kantengerüst eines Oktaeders.

Technisches: Für die Eckpunkte des Rhombendodekaeders habe ich folgende Koordinaten gewählt: sechs Eckpunkte mit den Koordinaten [±1, 0, 0], [0, ±1, 0], [0, 0, ±1] und acht Eckpunkte mit den Koordinaten [±½, ±½, ±½].

Abb. 1: Rhombendodekaeder

Nun verdrehen wir die Rhombenebenen um die Kanten des Oktaeders (Abb. 2). Dabei verändern die Rhomben ihre Form, sie werden zu Drachenvierecken (Deltoiden).

Abb. 2: Verdrehen der Rhombenebenen

Wir sehen den Übergang von einem Tetraeder zum dualen Tetraeder.

Ausgehend vom Rhombendodekaeder führen die extremen Drehwinkel ±arctan(√0.5) ≈ ±35.264° zu den beiden Tetraedern.

3 Das Deltoidaldodekaeder

Die Zwischenfiguren zwischen dem Rhombendodekaeder und den grenzwertigen Tetraedern bestehen aus 12 Drachenvierecken (Abb. 3 und Abb. 4 für eine Verdrehung von 20°).

Sie heißen daher Deltoidaldodekaeder (Deltoid = Drachenviereck, dodeka = 12, eder = Seitenfläche).

Abb. 3: Zwischenfigur: Deltoidaldodekaeder

Abb. 4: Deltoidaldodekaeder

4 Sterne

Beim „Überdrehen“, also Drehwinkeln größer oder kleiner als 35.264°, entstehen Sterne mit vier Spitzen.

Die Abbildung 5 zeigt die Situation für Drehwinkel zwischen –45° und 45°.

Abb. 5: Sterne

Die Abbildung 6 zeigt die Situation für Drehwinkel zwischen –53° und 53°.

Abb. 6: Sehr spitze Sterne

Die Bereichsgrenzen müssen betragsmäßig kleiner als arctan(√2) ≈ 54.7356° sein.

Weblinks

Hans Walser: Deltoidalikositetraeder

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Deltoidalikositetraeder/Deltoidalikositetraeder.html