Hans Walser, [20260110]

Differenzenfolge

Idee und Anregung: Jo Niemeyer, Breitnau im Hochschwarzwald 

1 Worum es geht

Visualisierung der Differenzenfolge mit Quadratflächen.

2 Die Differenzenfolge

Wir arbeiten mit zwei Startwerten A₁ und A₂ und der Rekursion:

A_n = |A_n–2 – A_n–1|

Anschaulich: die neue Zahl ist die Differenz der beiden vorangehenden Zahlen, wobei jeweils die kleinere Zahl von der größeren subtrahiert wird.

Die Idee ist nun, die Zahlen als Quadratflächen zu visualisieren und die Rekursion geometrisch darzustellen.

3 Beispiele

3.1 Beispiel 1

Wir arbeiten mit den Startwerten A₁ = 34 und A₂ = 21.

3.1.1 Zahlen

Mit den Startwerten A₁ = 34 und A₂ = 21 ergibt sich die Folge der Tabelle 1.

n	An
1	34	Erster Startwert
2	21	Zweiter Startwert
3	13
4	8
5	5
6	3
7	2
8	1	Beginn einer periodischen Folge
9	1
10	0
11	1
12	1
13	0
14	1
15	1
16	0

Tab. 1: Eine periodische Folge entsteht

Wir sehen, dass die Folge in eine periodische Folge mit der Periode 1, 1, 0 ausläuft.

3.1.2 Säulendiagramm

Die Folge kann als Säulendiagramm dargestellt werden (Abb. 1).

Abb. 1: Säulendiagramm

Bis zum Erreichen der Periode nehmen die Folgenglieder ab.

3.1.3 Quadratflächen

Die Abbildungen 2 und 3 zeigen die geometrische Darstellung der Rekursion. Die Zahlen in den Quadraten geben den Flächeninhalt an.

Abb. 2.1: Startquadrate

Abb. 2.2: Erster Schritt mit Pythagoras im ausgesparten weißen rechtwinkligen Dreieck

Abb. 2.3: Nächster Schritt

Abb. 2.4: Und so weiter

Abb. 2.5

Abb. 2.6

Abb. 2.7

Abb. 2.8: Das ausgesparte rechtwinklige Dreieck ist gleichschenklig

Abb. 2.9: Endlage

Bei zwei gleichen Quadraten (Abb. 2.9) ist der Satz des Pythagoras nicht mehr anwendbar. Die Figur schließt sich.

Abb. 3: Aufbau der Visualisierung

3.2 Beispiel 2

Wir arbeiten mit den Zahlen A₁ = 35 und A₂ = 15 als Startwerten.

3.2.1 Zahlen

Mit den Startwerten A₁ = 35 und A₂ = 15 ergeben sich die Folge der Tabelle 2 und das Säulendiagramm der Abbildung 4.

n	An
1	35	Erster Startwert
2	15	Zweiter Startwert
3	20
4	5
5	15
6	10
7	5	Beginn einer periodischen Folge
8	5
9	0
10	5
11	5
12	0
13	5
14	5
15	0

Tab. 2: Startwerte 35 und 15

Ab n = 7 entsteht eine periodische Folge mit der Periode 5, 5, 0.

Bemerkung: die Zahl 5 ist der größte gemeinsame Teiler der beiden Startwerte 35 und 15. Das Verfahren mit der Differenzenfolge ist im Prinzip der Euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers.

3.2.2 Säulendiagramm

Abb. 4: Säulendiagramm

Im Unterschied zum Beispiel 1 nehmen die Folgenglieder nicht monoton ab.

Bemerkung: im Beispiel 1 waren die beiden Startwerte aufeinanderfolgende Glieder der Fibonacci-Folge. Bei Startwerten, welche nicht aufeinanderfolgende Glieder der Fibonacci-Folge sind, nehmen die Folgenglieder der Differenzenfolge bis zum Erreichen der periodischen Folge nicht monoton ab.

3.2.3 Quadratflächen

Da die Quadratflächen nicht monoton abnehmen, müssen wir gelegentlich „rückwärts“ arbeiten. Dies führt zu Überlappungen. Daher wurde eine transparente Farbgebung gewählt (Abb. 5 und Abb. 6).

Abb. 5.1: Startquadrate

Abb. 5.2: Erster Schritt

Abb. 5.3: Der zweite Schritt geht rückwärts

Abb. 5.4: Nun geht es wieder vorwärts

Abb. 5.5: Das ausgesparte weiße rechtwinklige Dreieck ist gleichschenklig

Abb. 5.6: Endlage

Bei zwei gleichen Quadraten (Abb. 4.6) ist der Satz des Pythagoras nicht mehr anwendbar. Die Figur schließt sich.

Abb. 6: Aufbau der Visualisierung

3.3 Beispiel 3

3.3.1 Zahlen

Mit den Startwerten A₁ = 12 und A₂ = 1 ergeben sich die Folge der Tabelle 3 und das Säulendiagramm der Abbildung 7.

n	An
1	12	Erster Startwert
2	1	Zweiter Startwert
3	11
4	10
5	1
6	9
7	8
8	1
9	7
10	6
11	1
12	5
13	4
14	1
15	3
16	2
17	1	Beginn einer periodischen Folge
18	1
19	0
20	1
21	1
22	0
23	1
24	1
25	0

Tab. 3

Ab n = 17 entsteht eine periodische Folge mit der Periode 1, 1, 0.

3.3.2 Säulendiagramm

Abb. 7: Säulendiagramm

3.3.3 Quadratflächen

Da die Folgenglieder im Wechsel ab- und zunehmen, haben wir in der Visualisierung ein Hin und Her (Abb. 8).

Abb. 8: Visualisierung mit Quadraten

Die Abbildung 9 zeigt eine spiralförmige Anordnung der Visualisierung.

Abb. 9: Spiralförmige Anordnung

Weblinks

Hans Walser: Differenzenfolge

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Differenzenfolge/Differenzenfolge.html